2 Determine uma aplicação linear T: R^4 R^4 tal que ker(T)=span(1,1,0,0),(0,0,1,1) e Im(T)=span(1,1,0,0),(0,0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede um operador linear tal que
e
.
Como e , pela dimensão de domínio ( ) temos e . Para construir basta achar dois funcionais lineares cujas interseção dos núcleos seja o subespaço dado e usar duas imagens geradoras do subespaço de chegada.

Passo 2

O subespaço
é exatamente o conjunto de vetores que satisfazem as duas equações lineares
Definimos, então, as funcionais
Temos , e
é exatamente o subespaço dado para o núcleo de .

Passo 3

Para a imagem tomamos os vetores
w1=(1,1,0,0), w2=(0,0,1,1),
que geram Im(T). Definimos então
T(x) = f1(x),w1 ;+; f2(x),w2
Em coordenadas isso fica
T(x1,x2,x3,x4) =(x1-x2),(1,1,0,0);+;(x3-x4),(0,0,1,1)

Passo 4

  1. Se então e , ou seja e . Logo coincide com o subespaço pedido.
  2. Vemos que de onde contém e . Como por construção é combinação linear de , segue .

Resposta

Uma aplicação que funciona é
T(x1,x2,x3,x4) =(x1-x2,x1-x2,x3-x4,x3-x4)

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