2 Determine uma aplicação linear
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede um operador linear
tal que
e
.
Como e
, pela dimensão de domínio (
) temos e . Para construir
basta achar dois funcionais lineares cujas interseção dos núcleos seja o subespaço dado e usar duas imagens geradoras do subespaço de chegada.
e
.
Como
Passo 2
O subespaço
é exatamente o conjunto de vetores
que satisfazem as duas equações lineares
Definimos, então, as funcionais
Temos
,
e
é exatamente o subespaço dado para o núcleo de
.
Passo 3
Para a imagem tomamos os vetores
que geram
. Definimos então
Em coordenadas isso fica
Passo 4
- Se
então e , ou seja e . Logo coincide com o subespaço pedido. - Vemos que
de onde contém e . Como por construção é combinação linear de , segue .
Resposta
Uma aplicação que funciona é