9 Determine uma base e a dimensão do espaço das matrizes 3 times 3 que são triangulares superiores.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma base e a dimensão do subespaço Usubset M3times3(R) formado pelas matrizes triangulares superiores. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente subespaços vetoriais e bases de espaços de matrizes.

Passo 2

Para entender a estrutura de U, note que uma matriz triangular superior genérica tem a seguinte forma, em que os elementos abaixo da diagonal principal são zero:
X= a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f ,
onde a,b,c,d,e,finR. Logo, cada matriz de U é completamente determinada pelos seis valores livres a,b,c,d,e,f.

Passo 3

Como há exatamente seis entradas independentes, podemos escolher como base as matrizes que têm apenas uma dessas seis entradas igual a 1 e as demais 0. São elas:
E11=1&0&00&0&00&0&0, E12=0&1&00&0&00&0&0, E13=0&0&10&0&00&0&0,
E22=0&0&00&1&00&0&0, E23=0&0&00&0&10&0&0, E33=0&0&00&0&00&0&1
Cada matriz de U é combinação linear única destas seis, e elas são linearmente independentes.

Passo 4

Como encontramos seis vetores (matrizes) que formam uma base de U, concluímos que a dimensão de U é o número de vetores na base, isto é, 6.

Resposta

Uma base de U é
,E11,E12,E13,E22,E23,E33,
e dim(U)=6.

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