Seja B uma matriz n times m cujas colunas são linearmente independentes. Mostre que B tem inversa à esquerda.

Passo 1

O enunciado diz que é uma matriz de tamanho cujas colunas são linearmente independentes. Queremos mostrar que existe uma matriz de tamanho tal que
O conteúdo envolve conceitos de posto de matriz, independência linear de colunas e existência de inversa à esquerda para matrizes de posto completo em colunas. Usaremos também o fato de que, quando , a matriz é invertível.

Passo 2

Como as colunas de são linearmente independentes, o posto de é
Isto implica que o núcleo de é trivial, ou seja, a equação só tem a solução . Em particular, , pois não podemos ter mais colunas independentes do que linhas.

Passo 3

Considere a matriz quadrada B^TB de tamanho mtimes m. Para mostrar que ela é invertível, tome um vetor vinR^m tal que
B^TB,v = 0
Multiplicando à esquerda por v^T, obtemos
v^T(B^TB),v = (B,v)^T(B,v) = |B,v|^2 = 0
Logo B,v=0. Mas como ker(B)=0, segue que v=0. Portanto B^TB é uma matriz de núcleo trivial, logo invertível.

Passo 4

Definimos a matriz
L = (B^TB)^-1B^T,
que é de tamanho mtimes n. Verifiquemos que ela funciona como inversa à esquerda de B:
L,B = (B^TB)^-1B^TB = (B^TB)^-1(B^TB) = Im

Resposta

A matriz
L = (B^TB)^-1B^T
é uma inversa à esquerda de B, pois satisfaz L,B = Im.

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