Seja
uma matriz
cujas colunas são linearmente independentes. Mostre que
tem inversa à esquerda.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz de tamanho
cujas colunas são linearmente independentes. Queremos mostrar que existe uma matriz
de tamanho
tal que
O conteúdo envolve conceitos de posto de matriz, independência linear de colunas e existência de inversa à esquerda para matrizes de posto completo em colunas. Usaremos também o fato de que, quando , a matriz
é invertível.
Passo 2
Como as colunas de
são linearmente independentes, o posto de
é
Isto implica que o núcleo de
é trivial, ou seja, a equação
só tem a solução
. Em particular,
, pois não podemos ter mais colunas independentes do que linhas.
Passo 3
Considere a matriz quadrada
de tamanho
. Para mostrar que ela é invertível, tome um vetor
tal que
Multiplicando à esquerda por
, obtemos
Logo
. Mas como
, segue que
. Portanto
é uma matriz de núcleo trivial, logo invertível.
Passo 4
Definimos a matriz
que é de tamanho
. Verifiquemos que ela funciona como inversa à esquerda de
:
Resposta
A matriz
é uma inversa à esquerda de
, pois satisfaz
.