Determine a aplicação da transformada de Laplace sobre os PVI(s)
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+4 y=0, onde y(0)=1 e y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y'' - 3y' + 4y = 0,
com as condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=5.
Ou seja, queremos encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e essas condições. As informações dadas são:
  • a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: y''-3y'+4y=0;
  • as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=5.

Passo 2

Vou explicar rapidinho a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace. Para uma função f(t) de variável real t\ge 0, a transformada de Laplace é definida por
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (aqui tratamos s como variável simbólica). A razão prática para usá-la em PVI é que transforma derivadas em polinômios em s multiplicando a transformada da função e somando termos que envolvem as condições iniciais. As fórmulas fundamentais que vamos usar são (para y(t) com transformada \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada. Com elas a EDO vira uma equação algébrica em Y(s), que a gente resolve e depois aplica a transformada inversa para voltar a y(t).

Passo 3

Agora aplico \mathcal{L}\{\cdot\} à equação inteira. Tomando transformada em ambos os lados de
y''-3y'+4y=0,
obtemos
\mathcal{L}\{y''\}-3\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas das derivadas em termos de Y(s):
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-3\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)+4Y(s)=0.

Passo 4

Agora substituo as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=5 e faço a álgebra para isolar Y(s). Substituindo:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\cdot 1 -5\bigr)-3\bigl(sY(s)-1\bigr)+4Y(s)=0.
Expando os termos:
s^{2}Y(s)-s-5-3sY(s)+3+4Y(s)=0.
Agrupo os termos que contêm Y(s) e os termos constantes:
\bigl(s^{2}-3s+4\bigr)Y(s)+(-s-5+3)=0.
Simplificando o termo constante -5+3=-2:
\bigl(s^{2}-3s+4\bigr)Y(s)-s-2=0.
Isolando Y(s):
Y(s)=\frac{s+2}{s^{2}-3s+4}.

Passo 5

Para voltar ao domínio do tempo precisamos calcular a transformada inversa de Y(s). Primeiro reorganizo o denominador completando o quadrado para reconhecer formas padrões. Escrevo
s^{2}-3s+4=\left(s-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+4-\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}.
Calculo 4-(\tfrac{3}{2})^{2}=4-\tfrac{9}{4}=\tfrac{7}{4}. Portanto
s^{2}-3s+4=\left(s-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+\tfrac{7}{4}.
Defino as constantes úteis
a=\tfrac{3}{2},\qquad b=\tfrac{\sqrt{7}}{2},
pois \tfrac{7}{4}=b^{2}. Assim o denominador é (s-a)^{2}+b^{2}.

Passo 6

Preciso escrever o numerador s+2 em termos de (s-a) mais uma constante, para identificar as transformadas conhecidas. Observando:
s+2=(s-a)+(a+2).
Como a=\tfrac{3}{2}, temos a+2=\tfrac{3}{2}+2=\tfrac{7}{2}. Logo
s+2=(s-a)+\tfrac{7}{2}.
Substituindo em Y(s):
Y(s)=\frac{(s-a)+\tfrac{7}{2}}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Agora separamos em duas frações:
Y(s)=\frac{(s-a)}{(s-a)^{2}+b^{2}}+\frac{\tfrac{7}{2}}{(s-a)^{2}+b^{2}}.

Passo 7

Lembrando as transformadas inversas padrão com deslocamento exponencial:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\}(t)=e^{at}\cos(bt),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right\}(t)=e^{at}\sin(bt).
A segunda fração tem numerador \tfrac{7}{2}, não b. Escrevo \tfrac{7}{2} como múltiplo de b:
\tfrac{7}{2}=b\cdot\frac{\tfrac{7}{2}}{b}=b\cdot\frac{\tfrac{7}{2}}{\tfrac{\sqrt{7}}{2}}=b\cdot\frac{7}{\sqrt{7}}=b\cdot\sqrt{7}.
Logo
\frac{\tfrac{7}{2}}{(s-a)^{2}+b^{2}}=\sqrt{7}\,\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=e^{at}\cos(bt)+\sqrt{7}\,e^{at}\sin(bt).

Passo 8

Agora substituo os valores de a e b que definimos:
a=\tfrac{3}{2},\qquad b=\tfrac{\sqrt{7}}{2}.
Portanto a solução no domínio do tempo é
y(t)=e^{\tfrac{3}{2}t}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)+\sqrt{7}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)\Bigr).
Como checagem rápida, em t=0 obtemos y(0)=1 e diferenciando e avaliando em 0 recuperamos y'(0)=5, portanto as condições iniciais batem.

Resposta

y(t)=e^{\tfrac{3}{2}t}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)+\sqrt{7}\,\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{7}}{2}t\bigr)\Bigr)

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