Determine a aplicação da transformada de Laplace sobre os PVI(s)
, onde
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
com as condições iniciais
Ou seja, queremos encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e essas condições. As informações dadas são:
- a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
; - as condições iniciais
e .
Passo 2
Vou explicar rapidinho a ferramenta que vamos usar: a transformada de Laplace. Para uma função
de variável real
, a transformada de Laplace é definida por
onde
é uma variável complexa (aqui tratamos
como variável simbólica). A razão prática para usá-la em PVI é que transforma derivadas em polinômios em
multiplicando a transformada da função e somando termos que envolvem as condições iniciais. As fórmulas fundamentais que vamos usar são (para
com transformada
):
Essas fórmulas vêm de integrar por partes a definição da transformada. Com elas a EDO vira uma equação algébrica em
, que a gente resolve e depois aplica a transformada inversa para voltar a
.
Passo 3
Agora aplico
à equação inteira. Tomando transformada em ambos os lados de
obtemos
Substituindo as fórmulas das derivadas em termos de
:
Passo 4
Agora substituo as condições iniciais
e
e faço a álgebra para isolar
. Substituindo:
Expando os termos:
Agrupo os termos que contêm
e os termos constantes:
Simplificando o termo constante
:
Isolando
:
Passo 5
Para voltar ao domínio do tempo precisamos calcular a transformada inversa de
. Primeiro reorganizo o denominador completando o quadrado para reconhecer formas padrões. Escrevo
Calculo
. Portanto
Defino as constantes úteis
pois
. Assim o denominador é
.
Passo 6
Preciso escrever o numerador
em termos de
mais uma constante, para identificar as transformadas conhecidas. Observando:
Como
, temos
. Logo
Substituindo em
:
Agora separamos em duas frações:
Passo 7
Lembrando as transformadas inversas padrão com deslocamento exponencial:
A segunda fração tem numerador
, não
. Escrevo
como múltiplo de
:
Logo
Aplicando a transformada inversa termo a termo:
Passo 8
Agora substituo os valores de
e
que definimos:
Portanto a solução no domínio do tempo é
Como checagem rápida, em
obtemos
e diferenciando e avaliando em
recuperamos
, portanto as condições iniciais batem.