Determine a aplicação da transformada de Laplace sobre os PVI(s)
, onde
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
com a condição inicial
O que se pede é determinar a solução
aplicando a transformada de Laplace ao PVI dado.
Passo 2
O que é a transformada de Laplace e propriedades básicas que vamos usar.
- Definição: para uma função
definida em , a transformada de Laplace é
onde
é a variável da transformada (geralmente
grande o suficiente para a integral convergir).
- Propriedade linear (útil para somas e constantes):
- Transformada da derivada: se
é suficientemente bem comportada e é conhecido, então
Essa propriedade é a chave para transformar uma EDO em uma equação algébrica em
.
- Transformadas que usaremos diretamente:
e as inversas correspondentes serão usadas para voltar ao domínio do tempo.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denote
. Tomando a transformada de cada termo:
Usando
e
, e com
, obtemos
Passo 4
Resolver a equação algébrica para
. Agrupando
:
logo
Separei em duas parcelas para facilitar a transformada inversa.
Passo 5
Fazer a decomposição em frações parciais da segunda parcela
Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Expandindo o lado direito:
Igualando coeficientes de potências de
:
Da primeira
. Substituindo na terceira:
Então
Portanto a decomposição é
Passo 6
Substituir essa decomposição em
e agrupar termos simples:
Somando as parcelas em
:
Logo
Passo 7
Fazer a transformada inversa termo a termo. Usamos:
Aplicando a inversa a cada parcela em
:
Somando tudo, obtemos a solução
.