Determine a aplicação da transformada de Laplace sobre os PVI(s)
y^{\prime}+y=\operatorname{sen}(2 x), onde y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'(x)+y(x)=\operatorname{sen}(2x),
com a condição inicial
y(0)=1.
O que se pede é determinar a solução y(x) aplicando a transformada de Laplace ao PVI dado.

Passo 2

O que é a transformada de Laplace e propriedades básicas que vamos usar.
  • Definição: para uma função f(x) definida em x\ge0, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s x}f(x)\,dx,
onde s é a variável da transformada (geralmente \Re(s) grande o suficiente para a integral convergir).
  • Propriedade linear (útil para somas e constantes):
\mathcal{L}\{a f+b g\}(s)=a\mathcal{L}\{f\}(s)+b\mathcal{L}\{g\}(s).
  • Transformada da derivada: se y é suficientemente bem comportada e y(0) é conhecido, então
\mathcal{L}\{y'\}(s)=s\mathcal{L}\{y\}(s)-y(0).
Essa propriedade é a chave para transformar uma EDO em uma equação algébrica em s.
  • Transformadas que usaremos diretamente:
\mathcal{L}\{\sin(ax)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \mathcal{L}\{e^{-x}\}(s)=\frac{1}{s+1},
e as inversas correspondentes serão usadas para voltar ao domínio do tempo.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO. Denote Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s). Tomando a transformada de cada termo:
\mathcal{L}\{y'\}(s)+\mathcal{L}\{y\}(s)=\mathcal{L}\{\sin(2x)\}(s).
Usando \mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{\sin(2x)\}(s)=\dfrac{2}{s^{2}+4}, e com y(0)=1, obtemos
sY(s)-1+Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 4

Resolver a equação algébrica para Y(s). Agrupando Y(s):
(s+1)Y(s)-1=\frac{2}{s^{2}+4},
logo
Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{2}{(s+1)(s^{2}+4)}.
Separei em duas parcelas para facilitar a transformada inversa.

Passo 5

Fazer a decomposição em frações parciais da segunda parcela
\frac{2}{(s+1)(s^{2}+4)}.
Procuramos constantes A,B,C\) tais que \[\frac{2}{(s+1)(s^{2}+4)}=\frac{A}{s+1}+\frac{Bs+C}{s^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s^{2}+4) obtemos a identidade
2=A(s^{2}+4)+(Bs+C)(s+1).
Expandindo o lado direito:
2 = (A+B)s^{2} + (B+C)s + (4A+C).
Igualando coeficientes de potências de s:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] B+C=0,\\[4pt] 4A+C=2. \end{cases}
Da primeira B=-A\]. Da segunda \(C=-B=A. Substituindo na terceira:
4A + A = 2 \quad\Rightarrow\quad 5A=2 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{2}{5}.
Então
B=-\frac{2}{5},\qquad C=\frac{2}{5}.
Portanto a decomposição é
\frac{2}{(s+1)(s^{2}+4)}=\frac{2/5}{s+1}+\frac{-\tfrac{2}{5}s+\tfrac{2}{5}}{s^{2}+4}.]

Passo 6

Substituir essa decomposição em Y(s) e agrupar termos simples:
Y(s)=\frac{1}{s+1}+\frac{2/5}{s+1}+\frac{-\tfrac{2}{5}s+\tfrac{2}{5}}{s^{2}+4}.
Somando as parcelas em 1/(s+1):
\frac{1}{s+1}+\frac{2/5}{s+1}=\frac{7/5}{s+1}.
Logo
Y(s)=\frac{7/5}{s+1}+\frac{-\tfrac{2}{5}s+\tfrac{2}{5}}{s^{2}+4}.

Passo 7

Fazer a transformada inversa termo a termo. Usamos:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-x}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+4}\right\}=\cos(2x), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}\sin(2x).
Aplicando a inversa a cada parcela em Y(s):
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{7/5}{s+1}\right\}=\frac{7}{5}e^{-x},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-\tfrac{2}{5}s}{s^{2}+4}\right\}=-\frac{2}{5}\cos(2x),
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\tfrac{2}{5}}{s^{2}+4}\right\}=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{5}\sin(2x).
Somando tudo, obtemos a solução y(x).

Resposta

y(x)=\frac{7}{5}e^{-x}-\frac{2}{5}\cos(2x)+\frac{1}{5}\sin(2x)

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