Nessas fórmulas, y(0) e y^{\prime}(0) são os dados iniciais que aparecem automaticamente ao transformar derivadas — por isso a transformada é ótima para PVI.
Também vou usar a transformada de potências: para n inteiro não negativo,
\mathcal{L}\{x^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
No nosso caso x^{2} tem transformada \mathcal{L}\{x^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace na equação inteira. Denoto Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s). Transformando cada termo:
Observação: a expressão fica mais fácil de manipular se juntar os termos sobre um denominador comum. Multiplicando numerador e denominador para ter um único racional:
Y(s)=\frac{s^{4}+5s^{3}+8}{s^{3}(s+2)(s-1)},
pois s^{2}+s-2=(s+2)(s-1) e s^{4}+5s^{3}+8 é o numerador obtido ao levar tudo a denominador comum.
Passo 5
Para voltar ao domínio do tempo precisamos fazer a decomposição em frações parciais de Y(s). Como o denominador é s^{3}(s+2)(s-1), a forma geral da decomposição é
Calculo do lado esquerdo: 16-40+8=-16, então 24B=-16 e
B=-\frac{2}{3}.
Passo 6
Agora determino [C,D,E). Subtraio as parcelas com A e B do numerador original e igualo ao polinômio restante, ou faço a comparação de coeficientes. Vou fazer a forma de comparação de coeficientes (passo a passo):
Começo escrevendo a igualdade multiplicada pelo denominador:
s^{4}+5s^{3}+8 = A s^{3}(s+2) + B s^{3}(s-1) + \bigl(C s^{2}(s+2)(s-1) + D s (s+2)(s-1) + E (s+2)(s-1)\bigr).
Já conhecendo A=\tfrac{14}{3} e B=-\tfrac{2}{3}, calculo A s^{3}(s+2)+B s^{3}(s-1):
A s^{3}(s+2)+B s^{3}(s-1)=4s^{4}+10s^{3}.
(esse passo é cálculo algébrico direto: substituiu e simplificou.)