Determine a aplicação da transformada de Laplace sobre os PVI(s)
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=4 x^{2}, onde y(0)=1 e y^{\prime}(0)=4

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial com condições iniciais (PVI):
y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=4x^{2},
com
y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=4.
  • O enunciado pede aplicar a transformada de Laplace para resolver o PVI e obter a solução y(x).

Passo 2

Relembrando as fórmulas da transformada de Laplace que vamos usar (aqui explico cada coisa devagar):
  • A transformada de Laplace de uma função y(x) é denotada por \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s).
  • Para derivadas valem as fórmulas (essas vêm direto da definição integral, mas aqui uso as versões prontas que deve memorizar):
\mathcal{L}\{y^{\prime}\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y^{\prime\prime}\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y^{\prime}(0).
Nessas fórmulas, y(0) e y^{\prime}(0) são os dados iniciais que aparecem automaticamente ao transformar derivadas — por isso a transformada é ótima para PVI.
  • Também vou usar a transformada de potências: para n inteiro não negativo,
\mathcal{L}\{x^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}.
No nosso caso x^{2} tem transformada \mathcal{L}\{x^{2}\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}.

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace na equação inteira. Denoto Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s). Transformando cada termo:
\mathcal{L}\{y^{\prime\prime}\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y^{\prime}(0)=s^{2}Y(s)-s\cdot 1-4,
\mathcal{L}\{y^{\prime}\}=sY(s)-y(0)=sY(s)-1,
\mathcal{L}\{-2y\}=-2Y(s),
\mathcal{L}\{4x^{2}\}=4\mathcal{L}\{x^{2}\}=4\cdot\frac{2}{s^{3}}=\frac{8}{s^{3}}.
Substituindo tudo na equação transformada:
\bigl(s^{2}Y(s)-s-4\bigr)+\bigl(sY(s)-1\bigr)-2Y(s)=\frac{8}{s^{3}}.

Passo 4

Agrupo os termos que contêm Y(s) e os termos conhecidos:
\bigl(s^{2}+s-2\bigr)Y(s)-\bigl(s+5\bigr)=\frac{8}{s^{3}}.
Isolo Y(s):
\bigl(s^{2}+s-2\bigr)Y(s)=s+5+\frac{8}{s^{3}},
Y(s)=\frac{s+5}{s^{2}+s-2}+\frac{8}{s^{3}\bigl(s^{2}+s-2\bigr)}.
Observação: a expressão fica mais fácil de manipular se juntar os termos sobre um denominador comum. Multiplicando numerador e denominador para ter um único racional:
Y(s)=\frac{s^{4}+5s^{3}+8}{s^{3}(s+2)(s-1)},
pois s^{2}+s-2=(s+2)(s-1) e s^{4}+5s^{3}+8 é o numerador obtido ao levar tudo a denominador comum.

Passo 5

Para voltar ao domínio do tempo precisamos fazer a decomposição em frações parciais de Y(s). Como o denominador é s^{3}(s+2)(s-1), a forma geral da decomposição é
Y(s)=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s}+\frac{D}{s^{2}}+\frac{E}{s^{3}}.
Essa escolha corresponde aos pólos simples em s=1 e s=-2 e ao pólo de ordem 3 em s=0.
Para achar A e B uso o método direto (avaliando em s=1 e s=-2) — a parte mais prática da decomposição:
  • Multiplico ambos os lados por s^{3}(s+2)(s-1) e avalio em s=1:
s^{4}+5s^{3}+8 \Big|_{s=1}=A\cdot 1^{3}(1+2)=3A.
O lado esquerdo é 1+5+8=14, logo 3A=14 e
A=\frac{14}{3}.
  • Avalio em s=-2:
s^{4}+5s^{3}+8 \Big|_{s=-2}=B\cdot (-2)^{3}(-2-1)=24B.
Calculo do lado esquerdo: 16-40+8=-16, então 24B=-16 e
B=-\frac{2}{3}.

Passo 6

Agora determino [C,D,E). Subtraio as parcelas com A e B do numerador original e igualo ao polinômio restante, ou faço a comparação de coeficientes. Vou fazer a forma de comparação de coeficientes (passo a passo):
Começo escrevendo a igualdade multiplicada pelo denominador:
s^{4}+5s^{3}+8 = A s^{3}(s+2) + B s^{3}(s-1) + \bigl(C s^{2}(s+2)(s-1) + D s (s+2)(s-1) + E (s+2)(s-1)\bigr).
Já conhecendo A=\tfrac{14}{3} e B=-\tfrac{2}{3}, calculo A s^{3}(s+2)+B s^{3}(s-1):
A s^{3}(s+2)+B s^{3}(s-1)=4s^{4}+10s^{3}.
(esse passo é cálculo algébrico direto: substituiu e simplificou.)
Subtraindo isso do lado esquerdo:
s^{4}+5s^{3}+8 - (4s^{4}+10s^{3}) = -3s^{4}-5s^{3}+8.
Esse polinômio deve ser igual à parte que contém C,D,E, que ao expandir dá:
C s^{4} + (C+D) s^{3} + (-2C + D + E) s^{2} + (-2D + E) s + (-2E).
Comparando coeficientes com -3s^{4}-5s^{3}+0s^{2}+0s+8 obtém-se o sistema:
\begin{cases} C=-3,\\[4pt] C+D=-5,\\[4pt] -2C+D+E=0,\\[4pt] -2D+E=0,\\[4pt] -2E=8. \end{cases}
Da última equação E=-4\]. Com \(C=-3 e E=-4 resolvendo as outras dá D=-2. (Verificações rápidas: C+D=-3-2=-5, ok; -2C+D+E=6-2-4=0, ok.)
Assim temos:
C=-3,\qquad D=-2,\qquad E=-4.]

Passo 7

Reescrevo a decomposição completa com todos os coeficientes:
Y(s)=\frac{14/3}{s-1}-\frac{2/3}{s+2}-\frac{3}{s}-\frac{2}{s^{2}}-\frac{4}{s^{3}}.
Agora faço a transformada inversa termo a termo. Lembrete das inversas mais usadas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{ax}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s}\right\}=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}}\right\}=x.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{x^{2}}{2}.
Aplicando essas regras:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{14/3}{s-1}\right\}=\frac{14}{3}e^{x},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{2/3}{s+2}\right\}=-\frac{2}{3}e^{-2x},
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{3}{s}\right\}=-3,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{2}{s^{2}}\right\}=-2x,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{-\frac{4}{s^{3}}\right\}=-4\cdot\frac{x^{2}}{2}=-2x^{2}.
Somando todas as parcelas obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

y(x)=\frac{14}{3}e^{x}-\frac{2}{3}e^{-2x}-2x^{2}-2x-3.

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