Exercício 18. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados:
- Pede a derivada em relação a
da função
- Informações dadas que vamos usar:
- A função integranda é
. - O limite inferior é
. - O limite superior é
.
- A função integranda é
- Objetivo explícito: calcular
.
Passo 2
Teorema e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) diz, de forma simples, que se
e é contínua, então . - Quando tanto o limite inferior quanto o limite superior dependem de
, usa-se a versão para limites variáveis (às vezes chamada regra de Leibniz): se
então, supondo regularidade suficiente de
,
- Intuição / por que funciona (em palavras simples): a variação em
muda a área sob a curva ao adicionar a contribuição perto do novo valor de (que dá por cadeia) e ao remover a contribuição perto de (que dá o termo subtraído ). A cadeia aparece porque os limites são funções de .
Passo 3
Identificação das partes na nossa função e cálculo das derivadas dos limites:
- Identificamos
. - Identificamos
e . - Agora calcule as derivadas dos limites:
-
Passo 4
Aplicar a fórmula e simplificar passo a passo:
- Pela regra de Leibniz,
- Calcule
:
Multiplicando por
obtemos
- Calcule
:
Multiplicando por
obtemos
- Juntando os dois termos e lembrando do sinal negativo do segundo termo,
Passo 5
Comentário didático final e dica prática:
- Regra rápida para provas: se tiver
, escreva direto
e calcule
por cadeia.
- Se quiser checar a consistência dos expoentes:
e , que batem com os passos de multiplicação feitos acima. - Força aí: siga esse esquema que dá certo na prova e pratique com outros limites variáveis (por exemplo
dá ).