Exercício 18. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar as derivadas das seguintes funções:
\int_{\sqrt{x}}^{x^{3}} \sqrt{t} \cos (t) d t

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados:
  • Pede a derivada em relação a x da função
F(x)=\int_{\sqrt{x}}^{x^{3}} \sqrt{t}\cos(t)\,dt.
  • Informações dadas que vamos usar:
    • A função integranda é f(t)=\sqrt{t}\cos(t).
    • O limite inferior é a(x)=\sqrt{x}.
    • O limite superior é b(x)=x^{3}.
  • Objetivo explícito: calcular F'(x).

Passo 2

Teorema e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) diz, de forma simples, que se G(x)=\int_{c}^{x} f(t)\,dt e f é contínua, então G'(x)=f(x).
  • Quando tanto o limite inferior quanto o limite superior dependem de x, usa-se a versão para limites variáveis (às vezes chamada regra de Leibniz): se
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então, supondo regularidade suficiente de f,a,b,
F'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
  • Intuição / por que funciona (em palavras simples): a variação em x muda a área sob a curva ao adicionar a contribuição perto do novo valor de b(x) (que dá f(b(x))b'(x) por cadeia) e ao remover a contribuição perto de a(x) (que dá o termo subtraído f(a(x))a'(x)). A cadeia aparece porque os limites são funções de x.

Passo 3

Identificação das partes na nossa função e cálculo das derivadas dos limites:
  • Identificamos f(t)=\sqrt{t}\cos(t)=t^{1/2}\cos(t).
  • Identificamos a(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} e b(x)=x^{3}.
  • Agora calcule as derivadas dos limites:
    • \displaystyle b'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
    • \displaystyle a'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Aplicar a fórmula e simplificar passo a passo:
  • Pela regra de Leibniz,
F'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
  • Calcule f\big(b(x)\big):
f\big(x^{3}\big)=\big(x^{3}\big)^{1/2}\cos(x^{3})=x^{3/2}\cos(x^{3}).
Multiplicando por b'(x)=3x^{2} obtemos
f\big(x^{3}\big)\,b'(x)=3x^{2}\cdot x^{3/2}\cos(x^{3})=3x^{7/2}\cos(x^{3}).
  • Calcule f\big(a(x)\big):
f\big(\sqrt{x}\big)=\big(\sqrt{x}\big)^{1/2}\cos(\sqrt{x})=x^{1/4}\cos(\sqrt{x}).
Multiplicando por a'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2} obtemos
f\big(\sqrt{x}\big)\,a'(x)=x^{1/4}\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2}x^{1/4-1/2}\cos(\sqrt{x})=\frac{1}{2}x^{-1/4}\cos(\sqrt{x}).
  • Juntando os dois termos e lembrando do sinal negativo do segundo termo,
F'(x)=3x^{7/2}\cos(x^{3})-\frac{1}{2}x^{-1/4}\cos(\sqrt{x}).

Passo 5

Comentário didático final e dica prática:
  • Regra rápida para provas: se tiver \int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt, escreva direto
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt=f(v(x))v'(x)-f(u(x))u'(x),
e calcule v'(x),u'(x) por cadeia.
  • Se quiser checar a consistência dos expoentes: x^{7/2}=x^{3/2}\cdot x^{2} e x^{-1/4}=x^{1/4}\cdot x^{-1/2}, que batem com os passos de multiplicação feitos acima.
  • Força aí: siga esse esquema que dá certo na prova e pratique com outros limites variáveis (por exemplo \int_{0}^{x^{2}}\sin t\,dt \sin(x^{2})\cdot 2x).

Resposta

F'(x)=3x^{7/2}\cos(x^{3})-\tfrac{1}{2}x^{-1/4}\cos(\sqrt{x})

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