Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de 2 m / s. Um farol giratório que está a 6 m da estrada focaliza o homem. A que taxa o farol está girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho mais próximo do farol?

Passo 1

A ideia geral é que o homem anda a uma velocidade constante de 2 m/s ao longo de uma reta, e o farol, a 6 m dessa reta, gira para acompanhar o homem. Queremos a taxa angular dtheta/dt quando o homem está a 4 m do ponto mais próximo do farol. Vamos usar um triângulo retângulo e relações de taxas relacionadas.

Passo 2

Definimos: x(t) = distância do homem ao ponto mais próximo do farol, com dx/dt=2 m/s; e theta(t) = ângulo entre a reta perpendicular ao caminho e o feixe do farol. A relação trigonométrica no triângulo é
tan(theta)=x6

Passo 3

Aplicamos diferenciação implícita em relação ao tempo, usando a regra da cadeia e a derivada de tan:
sec^2(theta),dthetadt=16,dxdt

Passo 4

Isolando dtheta/dt e lembrando que sec^2theta=1+tan^2theta:
dthetadt=16dx/dtsec^2theta = dx/dt6l(1+tan^2thetar)

Passo 5

No instante pedido, x=4 m, logo tantheta=4/6=2/3 e 1+tan^2theta=1+4/9=13/9. Substituindo dx/dt=2 m/s:
dthetadt=26cdot913=13cdot913=313rad/s

Resposta

313 rad/s

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