Um homem anda ao longo de uma estrada reta a uma velocidade de
. Um farol giratório que está a 6 m da estrada focaliza o homem. A que taxa o farol está girando, quando o homem estiver a 4 m do ponto do caminho mais próximo do farol?
Passo 1
A ideia geral é que o homem anda a uma velocidade constante de 2 m/s ao longo de uma reta, e o farol, a 6 m dessa reta, gira para acompanhar o homem. Queremos a taxa angular
quando o homem está a 4 m do ponto mais próximo do farol. Vamos usar um triângulo retângulo e relações de taxas relacionadas.
Passo 2
Definimos:
= distância do homem ao ponto mais próximo do farol, com
m/s; e
= ângulo entre a reta perpendicular ao caminho e o feixe do farol. A relação trigonométrica no triângulo é
Passo 3
Aplicamos diferenciação implícita em relação ao tempo, usando a regra da cadeia e a derivada de
:
Passo 4
Isolando
e lembrando que
:
Passo 5
No instante pedido,
m, logo
e
. Substituindo
m/s: