Grãos caem de uma calha de escoamento a uma taxa de 10 cm^3 / min, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre o dobro de seu raio. Com que rapidez estará aumentando o raio da base no momento em que a altura da pilha for de 8 cm ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a taxa de variação do raio da base de uma pilha cônica cujos grãos caem a 10,cm^3/min, sabendo que a altura h vale sempre o dobro do raio r e queremos dr/dt quando h=8,cm. Isso é um problema de taxas relacionadas, usando a fórmula do volume de um cone.

Passo 2

A fórmula do volume de um cone é dado por
V = 13pi r^2 h
E temos a relação imposta pelo enunciado:
h = 2r
Vamos usar essa relação para eliminar h e escrever V só em função de r. Substituindo h=2r em V obtemos:
V = 13pi r^2 (2r) = 23pi r^3

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação ao tempo t. Do lado esquerdo vem dV/dt e do direito usamos regra de potência:
dVdt = 23pi cdot 3r^2 drdt = 2pi r^2 drdt
Rearranjando para dr/dt:
drdt = 12pi r^2dVdt

Passo 4

No instante em que h=8,cm, pela relação h=2r temos r=4,cm. Sabendo que dV/dt = 10,cm^3/min, substituímos na expressão de dr/dt:
drdt = 12pi (4)^2cdot 10 = 1032pi = 516pi,cm/min

Passo 5

Portanto, no momento em que a altura da pilha é 8,cm, o raio da base está aumentando a uma taxa de 5/(16pi),cm/min.

Resposta

516pi,cm/min

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