Grãos caem de uma calha de escoamento a uma taxa de
, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre o dobro de seu raio. Com que rapidez estará aumentando o raio da base no momento em que a altura da pilha for de 8 cm ?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a taxa de variação do raio da base de uma pilha cônica cujos grãos caem a
, sabendo que a altura
vale sempre o dobro do raio
e queremos
quando
. Isso é um problema de taxas relacionadas, usando a fórmula do volume de um cone.
Passo 2
A fórmula do volume de um cone é dado por
E temos a relação imposta pelo enunciado:
Vamos usar essa relação para eliminar
e escrever
só em função de
. Substituindo
em
obtemos:
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação ao tempo
. Do lado esquerdo vem
e do direito usamos regra de potência:
Rearranjando para
:
Passo 4
No instante em que
, pela relação
temos
. Sabendo que
, substituímos na expressão de
:
Passo 5
Portanto, no momento em que a altura da pilha é
, o raio da base está aumentando a uma taxa de
.