Determine uma aproximação da soma da série sumn=1^+infty (-1)^n-1(2 n-1) ! com precisão de três casas decimais.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma aproximação da soma da série infinita sumn=1^+infty (-1)^n-1(2n-1)! com precisão de três casas decimais. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries infinitas e aproximar a soma até que a precisão desejada seja alcançada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos:
sumn=1^+infty (-1)^n-1(2n-1)!
Aqui, cada termo da série é dado por (-1)^n-1(2n-1)!. O fator (-1)^n-1 alterna o sinal dos termos, tornando a série alternada. O denominador (2n-1)! indica que estamos lidando com fatorial de números ímpares.

Passo 3

Para encontrar a soma dessa série até uma precisão de três casas decimais, vamos calcular os termos sucessivos até que o próximo termo seja menor que 0,0005 (pois estamos arredondando para três casas). Assim, somaremos os termos até que adicionarmos mais um termo não altere os três primeiros dígitos após a vírgula.

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos da série:
Para n = 1:
(-1)^1-1(2 cdot 1 - 1)! = 11! = 1.000
Para n = 2:
(-1)^2-1(2 cdot 2 - 1)! = -13! = -16 approx -0,1667
Para n = 3:
(-1)^3-1(2 cdot 3 - 1)! = 15! = 1120 approx 0,0083
Para n = 4:
(-1)^4-1(2 cdot 4 - 1)! = -17! = -15040 approx -0,0002

Passo 5

Agora, vamos somar esses termos até que o próximo termo seja menor que 0,0005:
1.000 - 0,1667 = 0,8333
0,8333 + 0,0083 = 0,8416
0,8416 - 0,0002 = 0,8414
O próximo termo para n = 5 seria 19! approx 0,000003, que já é menor que 0,0005, então podemos parar aqui.

Resposta

A aproximação da soma da série sumn=1^+infty (-1)^n-1(2n-1)! com precisão de três casas decimais é 0,841.

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