Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
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Passo 1
Enunciado: temos a série de potência centrada em 2, . O conteúdo abordado é séries de potência e o critério da razão para determinar o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Definimos o termo geral . Pelo critério da razão, calculamos
Portanto, a condição de convergência é L<1, ou seja, |x-2|3<1.
Passo 3
Da condição |x-2|3<1 segue que o raio de convergência é R=3 e o intervalo aberto de convergência é (-1,5).
Passo 4
Testamos os extremos:
Para x=-1, o termo geral fica k^3(-1-2)^k/3^k = k^3(-3)^k/3^k = k^3(-1)^k, que não tende a zero, então a série diverge.
Para x=5, temos k^3(5-2)^k/3^k = k^3 3^k/3^k = k^3, também não tende a zero, logo diverge.
Passo 5
Conclusão: o intervalo de convergência é (-1,5), sem incluir os extremos.