Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
34) sumk=0^infty k^3(x-2)^k3^k

Passo 1

Enunciado: temos a série de potência centrada em 2, sumk=0^infty k^3(x-2)^k3^k. O conteúdo abordado é séries de potência e o critério da razão para determinar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral ak = k^3(x-2)^k3^k. Pelo critério da razão, calculamos
L = limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty (k+1)^33^k+1 cdot 3^kk^3 cdot |x-2| = |x-2|3
Portanto, a condição de convergência é L<1, ou seja, |x-2|3<1.

Passo 3

Da condição |x-2|3<1 segue que o raio de convergência é R=3 e o intervalo aberto de convergência é (-1,5).

Passo 4

Testamos os extremos:
  • Para x=-1, o termo geral fica k^3(-1-2)^k/3^k = k^3(-3)^k/3^k = k^3(-1)^k, que não tende a zero, então a série diverge.
  • Para x=5, temos k^3(5-2)^k/3^k = k^3 3^k/3^k = k^3, também não tende a zero, logo diverge.

Passo 5

Conclusão: o intervalo de convergência é (-1,5), sem incluir os extremos.

Resposta

(-1,5)

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