Determine a árca da regiāo comprendida entre os gráficos das funçōes f(x) e g(x) :
f(x)=-2 \cos (2 x) e g(x)=0, no intervalo I=[0, \pi].

Passo 1

O enunciado dá as duas funções e o intervalo:
  • f(x) = -2\cos(2x),
  • g(x) = 0 (o eixo x),
  • intervalo I = [0,\pi].
O que é pedido: determinar a área da região compreendida entre os gráficos de f e g no intervalo I.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função g(x) é a reta y=0.
  • A área pedida é a região entre a curva y=f(x) e o eixo x para x variando de 0 a \pi.

Passo 2

Princípio para calcular a área entre uma curva e o eixo x: a área entre y=f(x) e y=0 em um intervalo é
\text{Área}=\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx.Á
Explicando: se f(x) estiver acima do eixo ( f(x)\ge0) então a contribuição local é f(x); se estiver abaixo ( f(x)\le0) a contribuição é -f(x). Por isso usamos o valor absoluto e, na prática, dividimos o intervalo nos pontos onde f(x)=0 e integramos sem valor absoluto em cada subintervalo com sinal conhecido.
Então o próximo passo é achar os pontos de interseção entre f e g, isto é resolver f(x)=0.

Passo 3

Resolver f(x)=g(x) significa resolver
-2\cos(2x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos(2x)=0.
As soluções de \cos t=0 são t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Tomando t=2x obtém-se
2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.
Agora escolhemos as soluções que caem em [0,\pi]:
  • Para k=0: x=\dfrac{\pi}{4} (está em [0,\pi]).
  • Para k=1: x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{4} (está em [0,\pi]).
  • Para k=2: x=\dfrac{5\pi}{4}>\pi (fora do intervalo).
Portanto os pontos de interseção no intervalo são x=\dfrac{\pi}{4} e x=\dfrac{3\pi}{4}. Isso divide [0,\pi] em três subintervalos: [0,\tfrac{\pi}{4}], [\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}] e [\tfrac{3\pi}{4},\pi].

Passo 4

Precisamos saber o sinal de f(x) em cada subintervalo para remover o valor absoluto corretamente. Avaliamos f em pontos representativos:
  • Em x=0: f(0)=-2\cos(0)=-2\cdot 1=-2 (negativo).
  • Em x=\dfrac{\pi}{2}: f\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-2\cos(\pi)=-2\cdot(-1)=2 (positivo).
  • Em x=\pi: f(\pi)=-2\cos(2\pi)=-2\cdot 1=-2 (negativo).
Logo o padrão é: em [0,\tfrac{\pi}{4}) tem-se f(x)<0; em (\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{4}) tem-se f(x)>0; em (\tfrac{3\pi}{4},\pi] tem-se f(x)<0. Assim:
  • Se \cos(2x)>0 então f(x)=-2\cos(2x)<0 e |f(x)|=-f(x)=2\cos(2x).
  • Se \cos(2x)<0 então f(x)>0 e |f(x)|=f(x)=-2\cos(2x).

Passo 5

Montamos a integral da área dividida nos três subintervalos e usando as expressões sem o valor absoluto em cada caso:
\text{Área}=\int_{0}^{\pi} |f(x)|\,dx = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} 2\cos(2x)\,dx + \int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{3\pi}{4}} \bigl(-2\cos(2x)\bigr)\,dx + \int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi} 2\cos(2x)\,dx.Á
Observação didática: factor comum 2 pode ser tirado, mas aqui fazemos cada integral separadamente para ficar bem claro o tratamento do sinal.

Passo 6

Calcular as primitivas: a primitiva de \cos(2x) é \dfrac{1}{2}\sin(2x), pois derivando \dfrac{1}{2}\sin(2x) obtém-se \dfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2x)=\cos(2x). Então procedemos:
  1. Primeiro intervalo:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} 2\cos(2x)\,dx = 2\cdot\left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} = \left[\sin(2x)\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(0)=1-0=1.
  1. Segundo intervalo:
\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{3\pi}{4}} -2\cos(2x)\,dx = -2\cdot\left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{3\pi}{4}} = -\left[\sin(2x)\right]_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{3\pi}{4}} = -\bigl(\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\bigr).
Como \sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1 e \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1, obtém-se
-(-1-1) = -(-2)=2.
  1. Terceiro intervalo:
\int_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi} 2\cos(2x)\,dx = \left[\sin(2x)\right]_{\tfrac{3\pi}{4}}^{\pi} = \sin(2\pi)-\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0-(-1)=1.

Passo 7

Somando as três contribuições:
\text{Área}=1+2+1=4.Á
Interpretação final: a região entre a curva y=-2\cos(2x) e o eixo x no intervalo [0,\pi] tem área igual a 4 (unidades de área).

Resposta

4

Exercícios relacionados