Determine a árca da regiāo comprendida entre os gráficos das funçōes
e
:
e
, no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções e o intervalo:
-
, -
(o eixo ), - intervalo
.
O que é pedido: determinar a área da região compreendida entre os gráficos de
e
no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é a reta . - A área pedida é a região entre a curva
e o eixo para variando de a .
Passo 2
Princípio para calcular a área entre uma curva e o eixo
: a área entre
e
em um intervalo é
Explicando: se
estiver acima do eixo (
) então a contribuição local é
; se estiver abaixo (
) a contribuição é
. Por isso usamos o valor absoluto e, na prática, dividimos o intervalo nos pontos onde
e integramos sem valor absoluto em cada subintervalo com sinal conhecido.
Então o próximo passo é achar os pontos de interseção entre
e
, isto é resolver
.
Passo 3
Resolver
significa resolver
As soluções de
são
,
. Tomando
obtém-se
Agora escolhemos as soluções que caem em
:
- Para
: (está em ). - Para
: (está em ). - Para
: (fora do intervalo).
Portanto os pontos de interseção no intervalo são
e
. Isso divide
em três subintervalos:
,
e
.
Passo 4
Precisamos saber o sinal de
em cada subintervalo para remover o valor absoluto corretamente. Avaliamos
em pontos representativos:
- Em
: (negativo). - Em
: (positivo). - Em
: (negativo).
Logo o padrão é: em
tem-se
; em
tem-se
; em
tem-se
. Assim:
- Se
então e . - Se
então e .
Passo 5
Montamos a integral da área dividida nos três subintervalos e usando as expressões sem o valor absoluto em cada caso:
Observação didática: factor comum
pode ser tirado, mas aqui fazemos cada integral separadamente para ficar bem claro o tratamento do sinal.
Passo 6
Calcular as primitivas: a primitiva de
é
, pois derivando
obtém-se
. Então procedemos:
- Primeiro intervalo:
- Segundo intervalo:
Como
e
, obtém-se
- Terceiro intervalo:
Passo 7
Somando as três contribuições:
Interpretação final: a região entre a curva
e o eixo
no intervalo
tem área igual a
(unidades de área).