Exercício 1.22. Expandir as seguintes funções em série de potências ao redor do ponto a dado:
f(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x+2} ao redor de a=-4.

Passo 1

O enunciado pede: expandir em série de potências ao redor do ponto a=-4 a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}+3x+2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função a expandir é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+3x+2}.
  • O centro da expansão é a=-4, ou seja, queremos uma série em potências de (x+4).
  • Não há outras informações numéricas no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo prático: mudo a variável para centrar a série em zero. Defino
t:=x+4,
então a expansão em torno de a=-4 vira uma expansão em torno de t=0. Em particular x=t-4 e queremos escrever f como série em potências de t.

Passo 3

Substituo x=t-4 no denominador e calculo passo a passo:
x^{2}+3x+2=(t-4)^{2}+3(t-4)+2.
Desenvolvendo:
(t-4)^{2}=t^{2}-8t+16,
3(t-4)=3t-12,
portanto
x^{2}+3x+2=t^{2}-8t+16+3t-12+2=t^{2}-5t+6.
Fatorando o polinômio quadrático:
t^{2}-5t+6=(t-2)(t-3).
Logo
f(x)=\frac{1}{x^{2}+3x+2}=\frac{1}{(t-2)(t-3)}.

Passo 4

Faço decomposição em frações parciais para escrever a função como soma de termos simples (mais fáceis de expandir). Procuro constantes A e B tais que
\frac{1}{(t-2)(t-3)}=\frac{A}{t-2}+\frac{B}{t-3}.
Multiplicando por (t-2)(t-3) obtemos
1=A(t-3)+B(t-2).
Escolhendo t=2 e t=3 para resolver rapidamente:
t=2:\quad 1=A(2-3)=-A\\ \Rightarrow\\ A=-1,
t=3:\quad 1=B(3-2)=B\\ \Rightarrow\\ B=1.
Portanto
\frac{1}{(t-2)(t-3)}=-\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-3}.

Passo 5

Reescrevo cada termo em forma adequada para aplicar a série geométrica \dfrac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n} válida para |u|<1.
Transformo os termos:
-\frac{1}{t-2}=\frac{1}{2-t}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\frac{t}{2}},
\frac{1}{t-3}=-\frac{1}{3-t}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{t}{3}}.
Agora aplico a expansão geométrica para cada fração (valida quando |t/2|<1 e |t/3|<1, respectivamente):
\frac{1}{2-t}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{t}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{2^{n+1}}\quad\text{para }|t|<2,
-\frac{1}{3-t}=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{t}{3}\right)^{n}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{3^{n+1}}\quad\text{para }|t|<3.

Passo 6

Somando as duas séries obtidas:
\frac{1}{(t-2)(t-3)}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)t^{n},
com região de convergência dada pela interseção das condições |t|<2 e |t|<3, ou seja |t|<2. Voltando à variável original x (lembrando t=x+4), a expansão centrada em a=-4 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)(x+4)^{n},\qquad |x+4|<2.

Passo 7

Para ver alguns termos iniciais explicitamente (útil na prova para checar):
f(x)=\frac{1}{6}+\frac{5}{36}(x+4)+\frac{19}{216}(x+4)^{2}+\frac{65}{1296}(x+4)^{3}+\cdots,
porque, por exemplo, para n=0 obtemos 1/2-1/3=1/6; para n=1 obtemos 1/4-1/9=5/36; etc.
Dica prática para a prova: sempre que o centro não for zero, faz a substituição t=x-a, fatoriza o denominador (ou faz frações parciais) e depois aplica a série geométrica. Verifique o raio de convergência pelos polos mais próximos do centro.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{3^{n+1}}\right)(x+4)^{n},\qquad |x+4|<2.

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