Exercício 1.22. Expandir as seguintes funções em série de potências ao redor do ponto a dado:
ao redor de
.
Passo 1
O enunciado pede: expandir em série de potências ao redor do ponto
a função
Informações relevantes dadas:
- A função a expandir é
. - O centro da expansão é
, ou seja, queremos uma série em potências de . - Não há outras informações numéricas no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo prático: mudo a variável para centrar a série em zero. Defino
então a expansão em torno de
vira uma expansão em torno de
. Em particular
e queremos escrever
como série em potências de
.
Passo 3
Substituo
no denominador e calculo passo a passo:
Desenvolvendo:
portanto
Fatorando o polinômio quadrático:
Logo
Passo 4
Faço decomposição em frações parciais para escrever a função como soma de termos simples (mais fáceis de expandir). Procuro constantes
e
tais que
Multiplicando por
obtemos
Escolhendo
e
para resolver rapidamente:
Portanto
Passo 5
Reescrevo cada termo em forma adequada para aplicar a série geométrica
válida para
.
Transformo os termos:
Agora aplico a expansão geométrica para cada fração (valida quando
e
, respectivamente):
Passo 6
Somando as duas séries obtidas:
com região de convergência dada pela interseção das condições
e
, ou seja
. Voltando à variável original
(lembrando
), a expansão centrada em
é
Passo 7
Para ver alguns termos iniciais explicitamente (útil na prova para checar):
porque, por exemplo, para
obtemos
; para
obtemos
; etc.
Dica prática para a prova: sempre que o centro não for zero, faz a substituição
, fatoriza o denominador (ou faz frações parciais) e depois aplica a série geométrica. Verifique o raio de convergência pelos polos mais próximos do centro.