Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o limite
existe ou não, e calcular o valor quando existir.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A variável
tende para . - A variável
tende para , onde é um número real fixo (pode ser ou diferente de ). - A expressão a estudar é
.
O que precisamos responder:
- Para cada caso de
(em particular e ), dizer se o limite existe e, quando existir, fornecer seu valor.
Passo 2
Primeiro caso:
.
Intuição e ideia: quando uma função é formada por operações contínuas (seno, polinômios, soma, divisão por algo que não tende a zero), o limite ao aproximar-se do ponto é obtido simplesmente substituindo os valores limites nas expressões. Aqui verificar se o denominador tende a zero ou não é a parte importante.
Cálculo rigoroso:
portanto o denominador tende a um número diferente de zero. Como
e as funções polinomiais são contínuas, o quociente tende ao quociente dos limites dos numerador e denominador. Assim
Simplificando
e cancelando os sinais:
Conclusão parcial: para
o limite existe e vale
.
Passo 3
Segundo caso:
. Agora o ponto de aproximação é
. Aqui o denominador tende a
, então não se pode simplesmente substituir; precisamos manipular a expressão para estudar o comportamento.
Estratégia: usar a aproximação fundamental de seno perto de zero:
Também usaremos fatoração de potências para simplificar a razão.
Escrevemos a expressão como
Explico cada fator:
- O primeiro fator usa a diferença de potências. Fatorando,
portanto
- O segundo fator é a razão
com . Sabemos que quando essa razão tende a .
Substituindo:
Agora tomamos o limite quando
:
-
. -
, logo pelo limite conhecido quando .
Portanto o produto tende a
Conclusão parcial: para
o limite existe e vale
.
Passo 4
Resumo e interpretação (juntando os dois casos). Mostramos:
- Se
, o denominador tende a um número não nulo e o limite é obtido por substituição contínua, dando . - Se
, manipulação com fatoração e o limite leva a limite igual a .
Portanto o limite existe para todo
, com valor dependendo de
conforme acima.