Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, \theta)} \frac{\sin \left(x^{4}-y^{4}\right)}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,\theta)} \frac{\sin\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)}{x^{2}-y^{2}}
existe ou não, e calcular o valor quando existir.
Informações dadas:
  • A variável x tende para 0.
  • A variável y tende para \theta, onde \theta é um número real fixo (pode ser 0 ou diferente de 0).
  • A expressão a estudar é \dfrac{\sin\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)}{x^{2}-y^{2}}.
O que precisamos responder:
  • Para cada caso de \theta (em particular \theta\neq0 e \theta=0), dizer se o limite existe e, quando existir, fornecer seu valor.

Passo 2

Primeiro caso: \theta\neq 0.
Intuição e ideia: quando uma função é formada por operações contínuas (seno, polinômios, soma, divisão por algo que não tende a zero), o limite ao aproximar-se do ponto é obtido simplesmente substituindo os valores limites nas expressões. Aqui verificar se o denominador tende a zero ou não é a parte importante.
Cálculo rigoroso:
\text{Quando }(x,y)\to(0,\theta)\text{ com }\theta\neq0,\text{ temos}
x^{2}-y^{2}\to 0^{2}-\theta^{2}=-\theta^{2}\neq0,
portanto o denominador tende a um número diferente de zero. Como t\mapsto\sin t e as funções polinomiais são contínuas, o quociente tende ao quociente dos limites dos numerador e denominador. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,\theta)} \frac{\sin\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)}{x^{2}-y^{2}} = \frac{\sin\bigl(0^{4}-\theta^{4}\bigr)}{0^{2}-\theta^{2}} = \frac{\sin\bigl(-\theta^{4}\bigr)}{-\theta^{2}}.
Simplificando \sin(-\theta^{4})=-\sin(\theta^{4}) e cancelando os sinais:
\frac{-\sin(\theta^{4})}{-\theta^{2}}=\frac{\sin(\theta^{4})}{\theta^{2}}.
Conclusão parcial: para \theta\neq0 o limite existe e vale \dfrac{\sin(\theta^{4})}{\theta^{2}}.

Passo 3

Segundo caso: \theta=0. Agora o ponto de aproximação é (0,0). Aqui o denominador tende a 0, então não se pode simplesmente substituir; precisamos manipular a expressão para estudar o comportamento.
Estratégia: usar a aproximação fundamental de seno perto de zero:
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Também usaremos fatoração de potências para simplificar a razão.
Escrevemos a expressão como
\frac{\sin\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)}{x^{2}-y^{2}} = \frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}-y^{2}}\cdot\frac{\sin\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)}{x^{4}-y^{4}}.
Explico cada fator:
  • O primeiro fator usa a diferença de potências. Fatorando,
x^{4}-y^{4}=(x^{2}-y^{2})(x^{2}+y^{2}),
portanto
\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}-y^{2}}=x^{2}+y^{2}.
  • O segundo fator é a razão \dfrac{\sin u}{u} com u=x^{4}-y^{4}. Sabemos que quando u\to0 essa razão tende a 1.
Substituindo:
\frac{\sin\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)}{x^{2}-y^{2}}=(x^{2}+y^{2})\cdot\frac{\sin\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)}{x^{4}-y^{4}}.
Agora tomamos o limite quando (x,y)\to(0,0):
  • (x^{2}+y^{2})\to 0.
  • x^{4}-y^{4}\to 0, logo \dfrac{\sin\bigl(x^{4}-y^{4}\bigr)}{x^{4}-y^{4}}\to 1 pelo limite conhecido \dfrac{\sin u}{u}\to1 quando u\to0.
Portanto o produto tende a
0\cdot 1 = 0.
Conclusão parcial: para \theta=0 o limite existe e vale 0.

Passo 4

Resumo e interpretação (juntando os dois casos). Mostramos:
  • Se \theta\neq0, o denominador tende a um número não nulo e o limite é obtido por substituição contínua, dando \dfrac{\sin(\theta^{4})}{\theta^{2}}.
  • Se \theta=0, manipulação com fatoração e o limite \dfrac{\sin u}{u}\to1 leva a limite igual a 0.
Portanto o limite existe para todo \theta\in\mathbb{R}, com valor dependendo de \theta conforme acima.

Resposta

\displaystyle \begin{cases} 0, & \text{se }\theta=0,\\[6pt] \dfrac{\sin(\theta^{4})}{\theta^{2}}, & \text{se }\theta\neq0. \end{cases}]

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