Calcule \int_{S} f d S onde a superfície S e o campo escalar f são dados a seguir:
f(x, y, z)=x^{2} y, S: x^{2}+z^{2}=16,0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de superfície da função escalar f sobre a superfície S. Mais precisamente: calcular
\int_{S} f\,dS
onde foi dado:
f(x,y,z)=x^{2}y,
e a superfície S é o cilindro lateral definido por
x^{2}+z^{2}=16,\qquad 0\le y\le 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície é o cilindro de raio 4 (pois x^{2}+z^{2}=16\Rightarrow raio =4), extendendo-se em y de 0 até 1.
  • A função a integrar usa apenas x e y: f=x^{2}y.
  • Precisamos calcular a integral de superfície escalar, isto é \int_{S} f\,dS.

Passo 2

Conceito e método que vamos usar (explicação didática):
A integral de superfície de uma função escalar f sobre uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) é
\int_{S} f\,dS = \iint_{D} f\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\,\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|\,du\,dv,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são derivadas parciais e \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| dá a área infinitesimal dS (é o fator de escala da parametrização). Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas: um ângulo \theta ao redor do eixo y e a própria coordenada y.

Passo 3

Escolha da parametrização:
Para o cilindro de raio 4 usamos
\mathbf{r}(\theta,y) = \big(4\cos\theta,\; y,\; 4\sin\theta\big),
com 0\le \theta\le 2\pi e 0\le y\le 1.
Explicação: a qualquer \theta corresponde um ponto na circunferência de raio 4 no plano xz, e y varre a altura do cilindro.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_\theta e \mathbf{r}_y:
\mathbf{r}_\theta(\theta,y)=\big(-4\sin\theta,\;0,\;4\cos\theta\big),
\mathbf{r}_y(\theta,y)=\big(0,\;1,\;0\big).
Essas derivadas representam vetores tangentes à superfície nas direções \theta e y.

Passo 5

Calcular o produto vetorial e sua norma para obter dS:
Primeiro o produto vetorial
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -4\sin\theta & 0 & 4\cos\theta\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \big(-4\cos\theta,\;0,\;-4\sin\theta\big).
Agora a norma:
\big\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_y\big\| = \sqrt{(-4\cos\theta)^2+0^2+(-4\sin\theta)^2} = \sqrt{16\cos^2\theta+16\sin^2\theta} = \sqrt{16}=4.
Conclusão: dS = 4\,d\theta\,dy. Observação: a norma deu uma constante 4 porque a parametrização do cilindro tem fator de escala igual ao raio.]

Passo 6

Substituir f na parametrização e montar a integral dupla:
Na superfície x=4\cos\theta, portanto
f\big(\mathbf{r}(\theta,y)\big) = x^{2}y = (4\cos\theta)^{2}\,y = 16\cos^{2}\theta\;y.
Assim o integrando f\,dS fica
f\,dS = 16\cos^{2}\theta\;y \cdot 4\,d\theta\,dy = 64\cos^{2}\theta\;y\,d\theta\,dy.
Os intervalos são \theta\in[0,2\pi] e y\in[0,1]. Portanto
\int_{S} f\,dS = \int_{y=0}^{1}\int_{\theta=0}^{2\pi} 64\cos^{2}\theta\;y\;d\theta\,dy.

Passo 7

Calcular a integral dupla separando variáveis:
Como o integrando é produto de função de \theta por função de y, separamos:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} 64\cos^{2}\theta\;y\;d\theta\,dy =64\left(\int_{0}^{1} y\,dy\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.
Para \cos^{2}\theta use a identidade \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos 2\theta}{2}. Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta+\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi,
porque \sin(4\pi)=\sin 0=0.

Passo 8

Juntando os resultados:
\int_{S} f\,dS = 64\cdot\frac{1}{2}\cdot\pi = 32\pi.
Interpretação: o resultado é finito e positivo; faz sentido porque f=x^{2}y é não-negativa na região considerada (já que y\ge 0) e a área do cilindro é finita.

Resposta

\;32\pi

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