Calcule \int_{S} f d S onde a superfície S e o campo escalar f são dados a seguir: f(x, y, z)=x^{2} y, S: x^{2}+z^{2}=16,0 \leq y \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de superfície da função escalar f sobre a superfície S. Mais precisamente: calcular
\int_{S} f\,dS
onde foi dado:
f(x,y,z)=x^{2}y,
e a superfície S é o cilindro lateral definido por
x^{2}+z^{2}=16,\qquad 0\le y\le 1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A superfície é o cilindro de raio 4 (pois x^{2}+z^{2}=16\Rightarrow raio =4), extendendo-se em y de 0 até 1.
A função a integrar usa apenas x e y: f=x^{2}y.
Precisamos calcular a integral de superfície escalar, isto é \int_{S} f\,dS.
Passo 2
Conceito e método que vamos usar (explicação didática):
A integral de superfície de uma função escalar f sobre uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) é
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são derivadas parciais e \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| dá a área infinitesimal dS (é o fator de escala da parametrização). Vamos parametrizar o cilindro usando coordenadas cilíndricas: um ângulo \theta ao redor do eixo y e a própria coordenada y.
Passo 3
Escolha da parametrização:
Para o cilindro de raio 4 usamos
com 0\le \theta\le 2\pi e 0\le y\le 1.
Explicação: a qualquer \theta corresponde um ponto na circunferência de raio 4 no plano xz, e y varre a altura do cilindro.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_\theta e \mathbf{r}_y:
Interpretação: o resultado é finito e positivo; faz sentido porque f=x^{2}y é não-negativa na região considerada (já que y\ge 0) e a área do cilindro é finita.