Determine a área de um círculo de raio R no plano x y centrado na origem usando
Coordenadas cilíndricas: \rho=R, z=0

Passo 1

O enunciado pede a área do disco de raio R no plano xy centrado na origem, usando coordenadas cilíndricas (que, no plano z=0, coincidem com as coordenadas polares). Vamos montar uma integral dupla sobre o domínio do círculo e usar o jacobiano adequado.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas no plano z=0 fazemos a transformação
x = \rho \cos(\varphi), \quad y = \rho \sin(\varphi), \quad 0 \le \rho \le R, \quad 0 \le \varphi \le 2\pi.
O elemento de área é dado por
dA = \rho \, d\rho \, d\varphi.

Passo 3

O círculo de raio R corresponde ao domínio
0 \le \rho \le R, \quad 0 \le \varphi \le 2\pi.
Logo a área é
A = \int_{0}^{2\pi} \!\int_{0}^{R} \rho \, d\rho \, d\varphi.

Passo 4

Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{R} \rho \, d\rho = \left[\frac{\rho^{2}}{2}\right]_{0}^{R} = \frac{R^{2}}{2}.
Depois integramos em \varphi:
A = \int_{0}^{2\pi} \frac{R^{2}}{2} \, d\varphi = \frac{R^{2}}{2} \cdot 2\pi = \pi R^{2}.

Resposta

A área do círculo é \pi R^{2}.

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