5- ( 2,0 pontos) Um corpo de 120 g está ligado à extremidade inferior de uma mola não esticada nem comprimida. A mola está dependurada verticalmente e tem uma constante elástica de 40,0 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O corpo é solto. Qual a sua velocidade escalar máxima e qual a distância máxima que ele cai ate chegar momentaneamente ao repouso?

Passo 1

O enunciado diz que uma massa de m=0,120\:\mathrm{kg} está presa à extremidade de uma mola vertical com constante elástica k=40,0\:\mathrm{N/m}. Partindo do repouso com a mola sem deformação, a massa é solta. Pede-se a velocidade máxima que ela atinge e a distância máxima que ela desce até parar momentaneamente. Vamos usar conservação da energia mecânica (energia cinética + potencial gravitacional + potencial elástica).

Passo 2

Escolhemos o eixo vertical positivo para baixo, com origem em y=0 na posição inicial (mola sem deformação). A energia potencial gravitacional é
V_g = -\,m g y
e a energia potencial elástica é
V_e = \tfrac12\,k\,y^2.
Como a energia cinética é K=\tfrac12\,m\,v^2, a conservação de energia entre y=0 (onde v=0) e uma posição genérica y com velocidade v
0 = \frac12\,m\,v^2 + \frac12\,k\,y^2 - m g y.

Passo 3

Isolando v^2 na equação acima, obtemos
v^2 = 2\,g\,y \;-\;\frac{k}{m}\,y^2.

Passo 4

A velocidade máxima ocorre quando v^2(y) atinge seu valor máximo. Derivamos em relação a y e igualamos a zero:
\frac{d(v^2)}{dy} = 2\,g - 2\,\frac{k}{m}\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y_{\mathrm{eq}} = \frac{m\,g}{k}.
Substituindo em v^2,
v_{\max}^2 =2\,g\,\frac{m\,g}{k}-\frac{k}{m}\Bigl(\frac{m\,g}{k}\Bigr)^2 =\frac{m\,g^2}{k} \quad\Longrightarrow\quad v_{\max}=g\sqrt{\frac{m}{k}}.
Numérico:
v_{\max}=9,8\sqrt{\frac{0,120}{40,0}}\approx0,54\:\mathrm{m/s}.

Passo 5

A distância máxima y_{\max} em que v=0 (além de y=0) satisfaz
2\,g\,y - \frac{k}{m}\,y^2=0 \quad\Longrightarrow\quad y_{\max}=\frac{2\,m\,g}{k}=2\,y_{\mathrm{eq}} =2\frac{0,120\cdot9,8}{40,0}\approx0,059\:\mathrm{m}.

Resposta

Velocidade escalar máxima: v_{\max}\approx0,54\:\mathrm{m/s}
Distância máxima de queda: y_{\max}\approx0,059\:\mathrm{m}

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