determine:
a) (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C}, \quad \mathbf{A} \cdot(\mathbf{B} \times \mathbf{C}). São iguais?
b) \mathbf{A} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{C}),(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) \mathbf{B}-(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{C}. São iguais?
c) Qual é o ângulo entre os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} ? Entre \mathbf{A} e \mathbf{C} ? \mathbf{B} e \mathbf{C} ? Entre \mathbf{A} e \mathbf{B} \times \mathbf{C} ?
d) Qual é a área formada por um triângulo que tem como lados os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} ? Idem para \mathbf{A} e \mathbf{C e} depois \mathbf{B} e \mathbf{C} ?
Passo 1
O enunciado dá três vetores em coordenadas cartesianas:
Precisamos usar as definições de produto vetorial, produto escalar, as identidades de triplo produto e fórmulas de ângulo e área em termos de produtos vetorial e escalar.
Passo 2
(a) Primeiro calculamos \mathbf{A}\times\mathbf{B} por determinante:
Para o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B}\times\mathbf{C} usamos \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=-44 e \|\mathbf{B}\times\mathbf{C}\|=\sqrt{146}:
(d) A área de um triângulo cujos lados são \mathbf{U} e \mathbf{V} vale \tfrac12\|\mathbf{U}\times\mathbf{V}\|.
Já calculamos \|\mathbf{A}\times\mathbf{B}\| = \sqrt{(-14)^2 + 12^2 + (-18)^2} = 2\sqrt{166}, \|\mathbf{A}\times\mathbf{C}\| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{42}, \|\mathbf{B}\times\mathbf{C}\| = \sqrt{146}.
Assim as áreas são
a) (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C} = -44,\;\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = -44. São iguais.
b) \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\mathbf{B} - (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\mathbf{C} = (-6,6,-6). São iguais.
c) \theta_{AB}\approx77,0^\circ,\;\theta_{AC}=90,0^\circ,\;\theta_{BC}\approx80,6^\circ,\;\theta_{A,B\times C}\approx167,6^\circ.
d) \text{Área}_{AB}=\sqrt{166},\;\text{Área}_{AC}=\tfrac12\sqrt{42},\;\text{Área}_{BC}=\tfrac12\sqrt{146}.ÁÁÁ