Dados os vetores
\mathbf{A}=3 \hat{\boldsymbol{x}}+2 \hat{\boldsymbol{y}}-\hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{B}=3 \hat{\boldsymbol{x}}-4 \hat{\boldsymbol{y}}-5 \hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathbf{C}=\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{y}}+\hat{\boldsymbol{z}}
determine:
a) (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot \mathbf{C}, \quad \mathbf{A} \cdot(\mathbf{B} \times \mathbf{C}). São iguais?
b) \mathbf{A} \times(\mathbf{B} \times \mathbf{C}),(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) \mathbf{B}-(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{C}. São iguais?
c) Qual é o ângulo entre os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} ? Entre \mathbf{A} e \mathbf{C} ? \mathbf{B} e \mathbf{C} ? Entre \mathbf{A} e \mathbf{B} \times \mathbf{C} ?
d) Qual é a área formada por um triângulo que tem como lados os vetores \mathbf{A} e \mathbf{B} ? Idem para \mathbf{A} e \mathbf{C e} depois \mathbf{B} e \mathbf{C} ?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em coordenadas cartesianas:
\mathbf{A} = 3\,\hat{\mathbf{x}} + 2\,\hat{\mathbf{y}} - \hat{\mathbf{z}}, \quad \mathbf{B} = 3\,\hat{\mathbf{x}} - 4\,\hat{\mathbf{y}} - 5\,\hat{\mathbf{z}}, \quad \mathbf{C} = \hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}.
Precisamos usar as definições de produto vetorial, produto escalar, as identidades de triplo produto e fórmulas de ângulo e área em termos de produtos vetorial e escalar.

Passo 2

(a) Primeiro calculamos \mathbf{A}\times\mathbf{B} por determinante:
\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\\\ 3 & 2 & -1\\\\ 3 & -4 & -5 \end{vmatrix} = (-14)\,\hat{\mathbf{x}} + 12\,\hat{\mathbf{y}} -18\,\hat{\mathbf{z}}.
Fazemos então (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}:
(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C} = (-14)\cdot1 + 12\cdot(-1) + (-18)\cdot1 = -14 -12 -18 = -44.
Em seguida calculamos \mathbf{B}\times\mathbf{C}:
\mathbf{B}\times\mathbf{C} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}}\\\\ 3 & -4 & -5\\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -9\,\hat{\mathbf{x}} -8\,\hat{\mathbf{y}} +1\,\hat{\mathbf{z}}.
Logo
\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = 3\cdot(-9) + 2\cdot(-8) + (-1)\cdot1 = -27 -16 -1 = -44.
Portanto (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C} = \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = -44.

Passo 3

(b) A identidade do triplo produto vetorial afirma
\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\,\mathbf{B} \;-\; (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\,\mathbf{C}.
Calculamos os escalares:
\mathbf{A}\cdot\mathbf{C} = 3\cdot1 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot1 = 3 -2 -1 = 0, \quad \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = 3\cdot3 + 2\cdot(-4) + (-1)\cdot(-5) = 9 -8 +5 = 6.
Então o lado direito é
0\cdot\mathbf{B} - 6\cdot\mathbf{C} = -6(\hat{\mathbf{x}} - \hat{\mathbf{y}} + \hat{\mathbf{z}}) = -6\,\hat{\mathbf{x}} + 6\,\hat{\mathbf{y}} -6\,\hat{\mathbf{z}}.
E pelo mesmo cálculo direto de \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) obteríamos esse mesmo resultado. Logo são iguais.

Passo 4

(c) Para o ângulo entre dois vetores usamos
\cos\theta = \frac{\mathbf{U}\cdot\mathbf{V}}{\|\mathbf{U}\|\;\|\mathbf{V}\|}.
Calculamos magnitudes:
\|\mathbf{A}\| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{14},\quad \|\mathbf{B}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{50},\quad \|\mathbf{C}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}.
Já temos \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=6, \mathbf{A}\cdot\mathbf{C}=0, \mathbf{B}\cdot\mathbf{C}=2.
Logo
\theta_{AB} = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{6}{\sqrt{14}\,\sqrt{50}}\bigr)\approx 77,0^\circ, \quad \theta_{AC} = \operatorname{arccos}(0) = 90,0^\circ, \quad \theta_{BC} = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{50}\,\sqrt{3}}\bigr)\approx 80,6^\circ.
Para o ângulo entre \mathbf{A} e \mathbf{B}\times\mathbf{C} usamos \mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=-44 e \|\mathbf{B}\times\mathbf{C}\|=\sqrt{146}:
\theta_{A,B\times C} = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{-44}{\sqrt{14}\,\sqrt{146}}\Bigr)\approx 167,6^\circ.

Passo 5

(d) A área de um triângulo cujos lados são \mathbf{U} e \mathbf{V} vale \tfrac12\|\mathbf{U}\times\mathbf{V}\|.
Já calculamos \|\mathbf{A}\times\mathbf{B}\| = \sqrt{(-14)^2 + 12^2 + (-18)^2} = 2\sqrt{166}, \|\mathbf{A}\times\mathbf{C}\| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{42}, \|\mathbf{B}\times\mathbf{C}\| = \sqrt{146}.
Assim as áreas são
\text{Área}_{AB} = \tfrac12\,2\sqrt{166} = \sqrt{166}, \quad \text{Área}_{AC} = \tfrac12\,\sqrt{42}, \quad \text{Área}_{BC} = \tfrac12\,\sqrt{146}.ÁÁÁ

Resposta

a) (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C} = -44,\;\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = -44. São iguais.
b) \mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C}) = (\mathbf{A}\cdot\mathbf{C})\mathbf{B} - (\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\mathbf{C} = (-6,6,-6). São iguais.
c) \theta_{AB}\approx77,0^\circ,\;\theta_{AC}=90,0^\circ,\;\theta_{BC}\approx80,6^\circ,\;\theta_{A,B\times C}\approx167,6^\circ.
d) \text{Área}_{AB}=\sqrt{166},\;\text{Área}_{AC}=\tfrac12\sqrt{42},\;\text{Área}_{BC}=\tfrac12\sqrt{146}.ÁÁÁ

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