Determine a área compreendida entre as curvas f(x)=12 x e g(x)=3 x^{2} no intervalo 0 \leq x \leq 4, sabendo que \int_{0}^{4} 12 x d x=96 e \int_{0}^{4} 3 x^{2} d x=64.
Faça também uma representação gráfica.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a área compreendida entre as curvas f(x)=12x e g(x)=3x^{2} no intervalo 0\le x\le 4 e fazer uma representação gráfica.
Informações que o enunciado dá (úteis para calcular a área):
\int_{0}^{4} 12x\,dx = 96
\int_{0}^{4} 3x^{2}\,dx = 64
Nada mais será assumido além disso; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas (esses pontos determinam os limites naturais da região). Igualamos f(x) e g(x):
12x = 3x^{2}.
Reorganizando:
3x^{2}-12x=0
3x(x-4)=0.
Logo as soluções são x=0 e x=4. Avaliando y nesses x:
f(0)=12\cdot 0=0,\quad g(0)=3\cdot 0^{2}=0\quad\Rightarrow\quad (0,0).
f(4)=12\cdot 4=48,\quad g(4)=3\cdot 4^{2}=3\cdot 16=48\quad\Rightarrow\quad (4,48).
Portanto as curvas se encontram em (0,0) e (4,48).

Passo 3

Determinar qual curva está “por cima” entre x=0 e x=4 — isso diz qual função subtrair da outra ao montar a integral da área. Considere a diferença
h(x)=f(x)-g(x)=12x-3x^{2}=3x(4-x).
Para x no intervalo aberto (0,4) temos x>0 e 4-x>0, então h(x)>0. Em x=0 e x=4, h(x)=0. Logo em todo 0<x<4 temos f(x)>g(x). Conclusão útil: a função f(x)=12x está acima de g(x)=3x^{2} no intervalo dado.

Passo 4

Fórmula e montagem da integral da área entre curvas: quando uma curva y=u(x) está acima de y=v(x) no intervalo [a,b], a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(u(x)-v(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui u(x)=12x, v(x)=3x^{2}, a=0, b=4. Então
\text{Área}=\int_{0}^{4}\bigl(12x-3x^{2}\bigr)\,dx.Á
Explicação didática rápida sobre propriedade da integral que vamos usar: a integral é linear, isto é
\int_{0}^{4}\bigl(12x-3x^{2}\bigr)\,dx=\int_{0}^{4}12x\,dx-\int_{0}^{4}3x^{2}\,dx,
e o enunciado já forneceu esses dois valores, o que economiza cálculo de antiderivadas se preferirmos.

Passo 5

Usando os valores dados no enunciado:
\text{Área}=\int_{0}^{4}12x\,dx-\int_{0}^{4}3x^{2}\,dx = 96-64 = 32.Á
Para reforçar (aulas de prova): se você precisar calcular sem os valores dados, seria assim — encontrar antiderivadas:
\int 12x\,dx = 6x^{2}+C,\qquad \int 3x^{2}\,dx = x^{3}+C,
avaliar de 0 a 4:
6\cdot 4^{2}-6\cdot 0^{2}=6\cdot 16=96,
4^{3}-0^{3}=64,
e subtrair como fizemos, obtendo novamente 32. Guarda essa sequência: (1) achar interseções, (2) decidir qual é maior, (3) montar \int (maior - menor), (4) integrar/usar valores dados.

Passo 6

Representação gráfica (instruções passo a passo para você desenhar à mão ou em uma calculadora/plotter):
  • Trace os eixos x e y. Marque x de 0 a 4.
  • Pontos importantes das funções (peguei estes valores calculando as funções nos x indicados): \begin{array}{l} \text{Para }f(x)=12x:\quad f(0)=(0,0),\; f(1)=(1,12),\; f(2)=(2,24),\; f(3)=(3,36),\; f(4)=(4,48).\\[4pt] \text{Para }g(x)=3x^{2}:\quad g(0)=(0,0),\; g(1)=(1,3),\; g(2)=(2,12),\; g(3)=(3,27),\; g(4)=(4,48). \end{array}
  • Desenhe a reta f(x)=12x passando pelos pontos indicados (é uma linha reta que sobe rápido) e a parábola g(x)=3x^{2} que passa pelos seus pontos (curva com concavidade para cima).
  • Marque claramente os pontos de interseção (0,0) e (4,48).
  • A região pedida é a faixa entre as duas curvas para 0\le x\le 4; sombreie (ou pinte) a área entre a reta e a parábola nesse intervalo — a reta ficará por cima, a parábola por baixo.
  • Se for desenhar em papel, recomenda-se usar uma escala em y que comporte até y=48; por exemplo, cada centímetro = 6 unidades em y (assim 48 ocupa 8 cm), e em x cada centímetro = 1 unidade para facilitar.
Dica prática: se você usar um software (GeoGebra, Desmos, Python/matplotlib), entre as funções y=12x e y=3x^{2} e restrinja x a [0,4]; a ferramenta já permite mostrar a região sombreada diretamente. Isso é perfeito para conferir seu desenho à mão.]

Resposta

Área = \;32

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