Determine a área compreendida entre as curvas
e
no intervalo
, sabendo que
e
.
Faça também uma representação gráfica.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a área compreendida entre as curvas
e
no intervalo
e fazer uma representação gráfica.
Informações que o enunciado dá (úteis para calcular a área):
Nada mais será assumido além disso; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas (esses pontos determinam os limites naturais da região). Igualamos
e
:
Reorganizando:
Logo as soluções são
e
. Avaliando
nesses
:
Portanto as curvas se encontram em
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está “por cima” entre
e
— isso diz qual função subtrair da outra ao montar a integral da área. Considere a diferença
Para
no intervalo aberto
temos
e
, então
. Em
e
,
. Logo em todo
temos
. Conclusão útil: a função
está acima de
no intervalo dado.
Passo 4
Fórmula e montagem da integral da área entre curvas: quando uma curva
está acima de
no intervalo
, a área entre elas é
Aqui
,
,
,
. Então
Explicação didática rápida sobre propriedade da integral que vamos usar: a integral é linear, isto é
e o enunciado já forneceu esses dois valores, o que economiza cálculo de antiderivadas se preferirmos.
Passo 5
Usando os valores dados no enunciado:
Para reforçar (aulas de prova): se você precisar calcular sem os valores dados, seria assim — encontrar antiderivadas:
avaliar de
a
:
e subtrair como fizemos, obtendo novamente
. Guarda essa sequência: (1) achar interseções, (2) decidir qual é maior, (3) montar
, (4) integrar/usar valores dados.
Passo 6
Representação gráfica (instruções passo a passo para você desenhar à mão ou em uma calculadora/plotter):
- Trace os eixos
e . Marque de a . - Pontos importantes das funções (peguei estes valores calculando as funções nos
indicados): - Desenhe a reta
passando pelos pontos indicados (é uma linha reta que sobe rápido) e a parábola que passa pelos seus pontos (curva com concavidade para cima). - Marque claramente os pontos de interseção
e . - A região pedida é a faixa entre as duas curvas para
; sombreie (ou pinte) a área entre a reta e a parábola nesse intervalo — a reta ficará por cima, a parábola por baixo. - Se for desenhar em papel, recomenda-se usar uma escala em
que comporte até ; por exemplo, cada centímetro = unidades em (assim ocupa cm), e em cada centímetro = unidade para facilitar.
Dica prática: se você usar um software (GeoGebra, Desmos, Python/matplotlib), entre as funções
e
e restrinja
a
; a ferramenta já permite mostrar a região sombreada diretamente. Isso é perfeito para conferir seu desenho à mão.]
Resposta
Área