Na comercialização de um produto, a taxa de variação do lucro em relação à quantidade q comercializada, ou seja, o lucro marginal, é dada por L^{\prime}(q)=-q^{2}+8 q-7. Obtenha uma estimativa da variação total do lucro quando são comercializados de q=2 até q=7, considerando para seus cálculos n=10 subdivisões (retângulos).

Passo 1

O enunciado dá a taxa de variação do lucro (lucro marginal)
L'(q) = -q^{2} + 8q - 7
e pede uma estimativa da variação total do lucro quando a quantidade q varia de 2 até 7, usando n=10 subdivisões (retângulos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Função derivada: \,L'(q) = -q^{2} + 8q - 7.
  • Intervalo de integração: [a,b]=[2,7].
  • Número de retângulos: n=10.
  • Objetivo: estimar \Delta L = L(7)-L(2) = \displaystyle\int_{2}^{7} L'(q)\,dq por meio de uma soma de retângulos.

Passo 2

Como relacionar lucro marginal com variação total: a variação total do lucro entre q=2 e q=7 é a integral definida
\Delta L = \int_{2}^{7} L'(q)\,dq.
Para estimar essa integral com n=10 retângulos usamos uma soma de Riemann. Vou usar a regra do ponto-médio, que consiste em avaliar a função no ponto médio de cada subintervalo e multiplicar pela largura do subintervalo. Eu escolhi o ponto-médio porque é uma forma simples e costuma ser mais precisa do que usar apenas o extremo esquerdo ou direito, mantendo ainda cálculos elementares (é método básico e apropriado para prova).

Passo 3

Calcular a largura de cada subintervalo:
\Delta q = \frac{b-a}{n} = \frac{7-2}{10} = 0,5.
Os pontos médios de cada subintervalo são, para i=1,2,\dots,10,
q_i^{*} = a + \left(i-\tfrac{1}{2}\right)\Delta q = 2 + \left(i-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 0,5.
Para simplificar a soma, observe que
q_i^{*} = 1,75 + 0,5\,i.
(isto vem de 2 + (i-1/2)\cdot0,5 = 2 + 0,5i - 0,25 = 1,75 + 0,5i.)

Passo 4

A soma de Riemann pelo ponto-médio é
S = \sum_{i=1}^{10} L'\big(q_i^{*}\big)\,\Delta q = \Delta q \sum_{i=1}^{10}\big(-{q_i^{*}}^{2} + 8 q_i^{*} - 7\big).
Vamos calcular as somas \sum q_i^{*} e \sum {q_i^{*}}^{2}. Primeiro, expresse q_i^{*} como q_i^{*}=1,75+0,5i. Usaremos as fórmulas conhecidas:
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{i=1}^{n} i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Para n=10 temos \sum_{i=1}^{10} i = 55 e \sum_{i=1}^{10} i^{2} = 385.

Passo 5

Calcule \sum_{i=1}^{10} q_i^{*}:
\sum_{i=1}^{10} q_i^{*} = \sum_{i=1}^{10} (1,75 + 0,5i) = 10\cdot 1,75 + 0,5\sum_{i=1}^{10} i = 17,5 + 0,5\cdot 55 = 17,5 + 27,5 = 45.

Passo 6

Calcule \sum_{i=1}^{10} {q_i^{*}}^{2}. Expandindo (1,75+0,5i)^{2} temos
{q_i^{*}}^{2} = 1,75^{2} + 2\cdot 1,75 \cdot 0,5\,i + 0,5^{2} i^{2} = 3,0625 + 1,75\,i + 0,25\,i^{2}.
Somando de i=1 a 10:
\sum_{i=1}^{10} {q_i^{*}}^{2} = 10\cdot 3,0625 + 1,75\sum_{i=1}^{10} i + 0,25\sum_{i=1}^{10} i^{2}.
Substituindo \sum i = 55 e \sum i^{2} = 385:
\sum_{i=1}^{10} {q_i^{*}}^{2} = 30,625 + 1,75\cdot 55 + 0,25\cdot 385.
Calcule os termos:
1,75\cdot 55 = 96,25,\qquad 0,25\cdot 385 = 96,25.
Portanto
\sum_{i=1}^{10} {q_i^{*}}^{2} = 30,625 + 96,25 + 96,25 = 223,125.

Passo 7

Agora calcule a soma das avaliações da função:
\sum_{i=1}^{10}\big(-{q_i^{*}}^{2} + 8 q_i^{*} - 7\big) = -\sum_{i=1}^{10} {q_i^{*}}^{2} + 8\sum_{i=1}^{10} q_i^{*} - 7\cdot 10.
Substituindo as somas encontradas:
-\;223,125 + 8\cdot 45 - 70 = -223,125 + 360 - 70 = -223,125 + 290 = 66,875.

Passo 8

Multiplique pela largura \Delta q = 0,5 para obter a soma de Riemann pelo ponto-médio:
S = 0,5 \cdot 66,875 = 33,4375.
(Esse é o valor numérico da estimativa feita com n=10 retângulos usando pontos médios. Como referência, a integral exata é \displaystyle\int_{2}^{7}(-q^{2}+8q-7)\,dq = \tfrac{100}{3}\approx 33,3333, então a estimativa ficou bem próxima.)

Resposta

33,4375

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