Na comercialização de um produto, a taxa de variação do lucro em relação à quantidade
comercializada, ou seja, o lucro marginal, é dada por
. Obtenha uma estimativa da variação total do lucro quando são comercializados de
até
, considerando para seus cálculos
subdivisões (retângulos).
Passo 1
O enunciado dá a taxa de variação do lucro (lucro marginal)
e pede uma estimativa da variação total do lucro quando a quantidade
varia de
até
, usando
subdivisões (retângulos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Função derivada:
. - Intervalo de integração:
. - Número de retângulos:
. - Objetivo: estimar
por meio de uma soma de retângulos.
Passo 2
Como relacionar lucro marginal com variação total: a variação total do lucro entre
e
é a integral definida
Para estimar essa integral com
retângulos usamos uma soma de Riemann. Vou usar a regra do ponto-médio, que consiste em avaliar a função no ponto médio de cada subintervalo e multiplicar pela largura do subintervalo. Eu escolhi o ponto-médio porque é uma forma simples e costuma ser mais precisa do que usar apenas o extremo esquerdo ou direito, mantendo ainda cálculos elementares (é método básico e apropriado para prova).
Passo 3
Calcular a largura de cada subintervalo:
Os pontos médios de cada subintervalo são, para
,
Para simplificar a soma, observe que
(isto vem de
.)
Passo 4
A soma de Riemann pelo ponto-médio é
Vamos calcular as somas
e
. Primeiro, expresse
como
. Usaremos as fórmulas conhecidas:
Para
temos
e
.
Passo 5
Calcule
:
Passo 6
Calcule
. Expandindo
temos
Somando de
a
:
Substituindo
e
:
Calcule os termos:
Portanto
Passo 7
Agora calcule a soma das avaliações da função:
Substituindo as somas encontradas:
Passo 8
Multiplique pela largura
para obter a soma de Riemann pelo ponto-médio:
(Esse é o valor numérico da estimativa feita com
retângulos usando pontos médios. Como referência, a integral exata é
, então a estimativa ficou bem próxima.)