Determine a área compreendida entre as retas
e
no intervalo
e faça uma representação gráfica. (Sugestão: para o cálculo das integrais, esboce primeiramente os gráficos separados de
e
.)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área compreendida entre as retas
e
no intervalo
e fazer uma representação gráfica. Informações dadas importantes:
- As funções são as retas
e . - O intervalo onde devemos calcular a área é
. - Queremos a área entre as duas curvas (a região limitada por elas nesse intervalo).
Nenhuma outra informação é fornecida.
Passo 2
Vamos avaliar as funções nos extremos do intervalo para ter uma noção de qual reta está acima da outra em
e em
.
- Calcule
e : Logo, em temos . - Calcule
e : Em as retas se encontram: .
Esses cálculos mostram que ema reta está acima de e em elas se cruzam.
Passo 3
Determinar onde as retas se interceptam (ponto de interseção) é útil para conhecer a região limitada. Igualamos
e
:
Resolvendo:
Portanto, a interseção é em
. O ponto é
(pois
). No intervalo
a diferença
muda sinal? Vamos checar a expressão da diferença:
Para
temos
, logo
para
, e em
são iguais. Conclusão:
é a função “superior” (top) e
a “inferior” (bottom) no intervalo dado.
Passo 4
Explicar a fórmula para área entre duas curvas (didático):
- Se uma curva
está acima de no intervalo , a área entre elas é - Aqui a ideia é somar retângulos infinitesimais de base
e altura . - No nosso caso,
e para . Assim, a área procurada é
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro, achar uma primitiva de
:
- A primitiva de constante
é porque . - A primitiva de
é porque .
Portanto, uma primitiva deé
Agora avaliaremos
nos limites
e
e subtrair:
Passo 6
Avaliar
e
com contas detalhadas:
- Calcule
: (Aqui .) - Calcule
:
Agora subtraímos:
Como fração,
. Portanto a área procurada é
unidades de área.
Passo 7
Representação gráfica (esboço e descrição didática):
- Pontos relevantes:
-
Comportamento das retas:
-
tem inclinação e intercepto em . -
tem inclinação e intercepto em . - No intervalo
, começa acima de e as duas se encontram em .
-
-
Esboço (ASCII aproximado, só para visualizar a região; eixos não em escala perfeita):y
↑
| * (4,20) <- interseção f e g
| /|
| / |
| / |
| f(x) * (1,14)/ ← reta
| / |
| / |
| / |
| g(x) * (1,5)------| ← reta(mais inclinada)
±-------------------------------→ x
1 4Nesta figura a região pedida é a “faixa” entre as duas retas no trecho entree ; a área dessa faixa é .
Passo 8
Verificação rápida por razão de coerência:
- A diferença
é linear e positiva em e nula em , então a área é a área sob uma reta positiva que decresce até zero — faz sentido o resultado ser finito e positivo. - O valor numérico
é compatível com a forma e largura do intervalo (largura ) e alturas iniciais próximas de (pois ); média grosseira da altura seria algo como e multiplicada pela largura dá , que coincide com o resultado da integral (isso é uma checagem geométrica usando a fórmula da área de um trapézio).