Determine a área compreendida entre as retas f(x)=2 x+12 e g(x)=5 x no intervalo 1 \leq x \leq 4 e faça uma representação gráfica. (Sugestão: para o cálculo das integrais, esboce primeiramente os gráficos separados de f(x) e g(x).)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área compreendida entre as retas f(x)=2x+12 e g(x)=5x no intervalo 1\le x\le 4 e fazer uma representação gráfica. Informações dadas importantes:
  • As funções são as retas f(x)=2x+12 e g(x)=5x.
  • O intervalo onde devemos calcular a área é x\in[1,4].
  • Queremos a área entre as duas curvas (a região limitada por elas nesse intervalo).
    Nenhuma outra informação é fornecida.

Passo 2

Vamos avaliar as funções nos extremos do intervalo para ter uma noção de qual reta está acima da outra em x=1 e em x=4.
  • Calcule f(1) e g(1): f(1)=2\cdot 1+12=14, \qquad g(1)=5\cdot 1=5.Logo, em x=1 temos f(1)=14>g(1)=5.
  • Calcule f(4) e g(4): f(4)=2\cdot 4+12=8+12=20, \qquad g(4)=5\cdot 4=20.Em x=4 as retas se encontram: f(4)=g(4)=20.
    Esses cálculos mostram que em x=1 a reta f está acima de g e em x=4 elas se cruzam.

Passo 3

Determinar onde as retas se interceptam (ponto de interseção) é útil para conhecer a região limitada. Igualamos f(x) e g(x):
2x+12=5x.
Resolvendo:
12=5x-2x=3x \quad\Rightarrow\quad x=4.
Portanto, a interseção é em x=4. O ponto é (4,20) (pois f(4)=g(4)=20). No intervalo [1,4] a diferença f(x)-g(x) muda sinal? Vamos checar a expressão da diferença:
f(x)-g(x)=(2x+12)-5x=12-3x.
Para x\in[1,4) temos 12-3x>0, logo f(x)>g(x) para 1\le x<4, e em x=4 são iguais. Conclusão: f é a função “superior” (top) e g a “inferior” (bottom) no intervalo dado.

Passo 4

Explicar a fórmula para área entre duas curvas (didático):
  • Se uma curva y=\text{top}(x) está acima de y=\text{bottom}(x) no intervalo [a,b], a área entre elas é \text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\bigr)\,dx.Á
  • Aqui a ideia é somar retângulos infinitesimais de base dx e altura \text{top}(x)-\text{bottom}(x).
  • No nosso caso, \text{top}(x)=f(x)=2x+12 e \text{bottom}(x)=g(x)=5x para x\in[1,4]. Assim, a área procurada é \text{Área}=\int_{1}^{4}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx=\int_{1}^{4}\bigl(12-3x\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro, achar uma primitiva de 12-3x:
  • A primitiva de constante 12 é 12x porque \dfrac{d}{dx}(12x)=12.
  • A primitiva de -3x é -\dfrac{3}{2}x^{2} porque \dfrac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{3}{2}x^{2}\bigr)=-3x.
    Portanto, uma primitiva de 12-3x é
F(x)=12x-\frac{3}{2}x^{2}.
Agora avaliaremos F nos limites 1 e 4 e subtrair:
\text{Área}=F(4)-F(1).Á

Passo 6

Avaliar F(4) e F(1) com contas detalhadas:
  • Calcule F(4): F(4)=12\cdot 4-\frac{3}{2}\cdot 4^{2}=48-\frac{3}{2}\cdot 16=48-24=24.(Aqui \tfrac{3}{2}\cdot 16=3\cdot 8=24.)
  • Calcule F(1): F(1)=12\cdot 1-\frac{3}{2}\cdot 1^{2}=12-\frac{3}{2}=12-1{,}5=10{,}5.
Agora subtraímos:
\text{Área}=F(4)-F(1)=24-10{,}5=13{,}5.Á
Como fração, 13{,}5=\dfrac{27}{2}. Portanto a área procurada é \dfrac{27}{2} unidades de área.

Passo 7

Representação gráfica (esboço e descrição didática):
  • Pontos relevantes: \text{em }x=1:\quad f(1)=(1,14),\quad g(1)=(1,5).
\text{em }x=4:\quad f(4)=g(4)=(4,20).
  • Comportamento das retas:
    • f(x)=2x+12 tem inclinação 2 e intercepto em y=12.
    • g(x)=5x tem inclinação 5 e intercepto em y=0.
    • No intervalo 1\le x\le 4, f começa acima de g e as duas se encontram em x=4.
  • Esboço (ASCII aproximado, só para visualizar a região; eixos não em escala perfeita):
    y

    | * (4,20) <- interseção f e g
    | /|
    | / |
    | / |
    | f(x) * (1,14)/ ← reta f(x)=2x+12
    | / |
    | / |
    | / |
    | g(x) * (1,5)------| ← reta g(x)=5x (mais inclinada)
    ±-------------------------------→ x
    1 4
    Nesta figura a região pedida é a “faixa” entre as duas retas no trecho entre x=1 e x=4; a área dessa faixa é \dfrac{27}{2}.

Passo 8

Verificação rápida por razão de coerência:
  • A diferença f(x)-g(x)=12-3x é linear e positiva em x=1 e nula em x=4, então a área é a área sob uma reta positiva que decresce até zero — faz sentido o resultado ser finito e positivo.
  • O valor numérico 13{,}5 é compatível com a forma e largura do intervalo (largura 3) e alturas iniciais próximas de 9 (pois f(1)-g(1)=14-5=9); média grosseira da altura seria algo como \tfrac{9+0}{2}=4{,}5 e multiplicada pela largura 3 13{,}5, que coincide com o resultado da integral (isso é uma checagem geométrica usando a fórmula da área de um trapézio).

Resposta

\dfrac{27}{2}

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