Na fabricação de um produto, a taxa de variação do custo em relação à quantidade
produzida, ou seja, o custo marginal, é dada por
. Obtenha uma estimativa da variação total do custo quando são produzidos de
até
, considerando para seus cálculos
subdivisões (retângulos).
Passo 1
O enunciado fornece a taxa de variação do custo (custo marginal)
e pede uma estimativa da variação total do custo quando a produção vai de
até
, usando
subdivisões (retângulos). Informações relevantes:
- Função a integrar (taxa):
. - Intervalo de integração:
. - Número de subdivisões:
. - Deve-se usar retângulos (Riemann sum) para estimar a variação total.
Passo 2
Conceito importante (explicando com calma): a variação total do custo ao aumentar a produção de
até
é o integral da derivada nesse intervalo, isto é
Na prática da prova, quando pedem “estimativa usando
retângulos”, estamos pedindo uma soma de Riemann que aproxima esse integral. A soma de Riemann básica tem a forma
onde
é a largura de cada subintervalo e
é o ponto de amostragem dentro do
-ésimo subintervalo (pode ser à esquerda, à direita ou no ponto médio). Aqui vamos escolher os pontos de amostragem como os extremos à direita de cada subintervalo (soma à direita), porque é um método simples, direto e fácil de calcular à mão. Observação útil: como
é crescente em
, a soma de Riemann à direita dará uma estimativa maior que o valor exato (ou seja, será um sobrestima), o que ajuda a interpretar o resultado.
Passo 3
Calcular a largura de cada subintervalo:
Passo 4
Determinar os pontos de amostragem (extremos à direita). Para
,
Lista dos
:
Passo 5
Escrever a soma de Riemann à direita para aproximar a variação total:
Passo 6
Desenvolver a soma algebricamente para facilitar o cálculo à mão. Primeiro expandimos
:
Assim o termo interno da soma é
Somando para
até
,
Usamos fórmulas-padrão (vou lembrar e calcular):
Substituindo:
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 7
Multiplicar pela largura
para obter a aproximação final:
Interpretação rápida: a estimativa da variação total do custo (quando
vai de
a
) é
(mesma unidade monetária do custo). Como nota didática: porque
é crescente, a soma à direita produz um sobrestima. Para ver o valor exato (apenas para referência), podemos calcular o integral exato:
Logo o valor exato é
, e nossa aproximação
é um pouco maior (sobrestima), error aproximado
.