Na fabricação de um produto, a taxa de variação do custo em relação à quantidade q produzida, ou seja, o custo marginal, é dada por C^{\prime}(q)=q^{2}+100. Obtenha uma estimativa da variação total do custo quando são produzidos de q=1 até q=5, considerando para seus cálculos n=10 subdivisões (retângulos).

Passo 1

O enunciado fornece a taxa de variação do custo (custo marginal)
C'(q)=q^{2}+100
e pede uma estimativa da variação total do custo quando a produção vai de q=1 até q=5, usando n=10 subdivisões (retângulos). Informações relevantes:
  • Função a integrar (taxa): C'(q)=q^{2}+100.
  • Intervalo de integração: [1,5].
  • Número de subdivisões: n=10.
  • Deve-se usar retângulos (Riemann sum) para estimar a variação total.

Passo 2

Conceito importante (explicando com calma): a variação total do custo ao aumentar a produção de q=1 até q=5 é o integral da derivada nesse intervalo, isto é
\Delta C=\int_{1}^{5} C'(q)\,dq.
Na prática da prova, quando pedem “estimativa usando n retângulos”, estamos pedindo uma soma de Riemann que aproxima esse integral. A soma de Riemann básica tem a forma
\text{aprox }=\sum_{i=1}^{n} f(q_i^*)\,\Delta q,
onde \Delta q é a largura de cada subintervalo e q_i^* é o ponto de amostragem dentro do i-ésimo subintervalo (pode ser à esquerda, à direita ou no ponto médio). Aqui vamos escolher os pontos de amostragem como os extremos à direita de cada subintervalo (soma à direita), porque é um método simples, direto e fácil de calcular à mão. Observação útil: como C'(q)=q^{2}+100 é crescente em q, a soma de Riemann à direita dará uma estimativa maior que o valor exato (ou seja, será um sobrestima), o que ajuda a interpretar o resultado.

Passo 3

Calcular a largura de cada subintervalo:
\Delta q=\frac{5-1}{10}=\frac{4}{10}=0{,}4.

Passo 4

Determinar os pontos de amostragem (extremos à direita). Para i=1,2,\dots,10,
q_i=1+i\Delta q=1+0{,}4i.
Lista dos q_i:
q_1=1{,}4,\; q_2=1{,}8,\; q_3=2{,}2,\; q_4=2{,}6,\; q_5=3{,}0,
q_6=3{,}4,\; q_7=3{,}8,\; q_8=4{,}2,\; q_9=4{,}6,\; q_{10}=5{,}0.

Passo 5

Escrever a soma de Riemann à direita para aproximar a variação total:
\Delta C\approx \sum_{i=1}^{10}\big(q_i^{2}+100\big)\,\Delta q = \Delta q\sum_{i=1}^{10}\big((1+0{,}4i)^{2}+100\big).

Passo 6

Desenvolver a soma algebricamente para facilitar o cálculo à mão. Primeiro expandimos (1+0{,}4i)^{2}:
(1+0{,}4i)^{2}=1+0{,}8i+0{,}16i^{2}.
Assim o termo interno da soma é
(1+0{,}4i)^{2}+100 = 1+0{,}8i+0{,}16i^{2}+100.
Somando para i=1 até 10,
\sum_{i=1}^{10}\big((1+0{,}4i)^{2}+100\big)=\sum_{i=1}^{10}1 + 0{,}8\sum_{i=1}^{10}i + 0{,}16\sum_{i=1}^{10}i^{2} + \sum_{i=1}^{10}100.
Usamos fórmulas-padrão (vou lembrar e calcular):
\sum_{i=1}^{10}1 = 10,
\sum_{i=1}^{10}i = \frac{10\cdot 11}{2}=55,
\sum_{i=1}^{10}i^{2} = \frac{10\cdot 11\cdot 21}{6}=385,
\sum_{i=1}^{10}100 = 100\cdot 10=1000.
Substituindo:
\sum_{i=1}^{10}\big((1+0{,}4i)^{2}+100\big)=10 + 0{,}8\cdot 55 + 0{,}16\cdot 385 + 1000.
Calcule cada termo:
0{,}8\cdot 55 = 44,
0{,}16\cdot 385 = 61{,}6.
Somando:
10 + 44 + 61{,}6 + 1000 = 1115{,}6.

Passo 7

Multiplicar pela largura \Delta q=0{,}4 para obter a aproximação final:
\Delta C \approx 0{,}4 \times 1115{,}6 = 446{,}24.
Interpretação rápida: a estimativa da variação total do custo (quando q vai de 1 a 5) é \,446{,}24 (mesma unidade monetária do custo). Como nota didática: porque C'(q) é crescente, a soma à direita produz um sobrestima. Para ver o valor exato (apenas para referência), podemos calcular o integral exato:
\int_{1}^{5}(q^{2}+100)\,dq=\left[\frac{q^{3}}{3}+100q\right]_{1}^{5} =\left(\frac{125}{3}+500\right)-\left(\frac{1}{3}+100\right) =\frac{124}{3}+400=441{,} \overline{3}.
Logo o valor exato é 441{,}333\ldots, e nossa aproximação 446{,}24 é um pouco maior (sobrestima), error aproximado 446{,}24-441{,}333\ldots\approx 4{,}9067.

Resposta

446{,}24

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