O valor da “ação” de uma empresa negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias
é dado por
. Qual o valor médio da ação no intervalo de dias de
até
? (Sugestão: obtenha geometricamente o valor da integral.)
Passo 1
O enunciado dá a função do valor da ação
e pede o valor médio da ação no intervalo de dias de
até
. Informações relevantes:
- Função:
. - Intervalo:
e . - Pergunta: qual o valor médio de
em ?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “valor médio” de uma função num intervalo. O valor médio de uma função
em
é a área sob o gráfico de
entre
e
dividida pela largura do intervalo
. Em fórmulas:
Aqui
é a função cujo médio queremos,
e
são os extremos do intervalo, e
representa a área sob o gráfico de
entre
e
. Para a nossa função,
,
,
.
Passo 3
Primeiro calculemos os valores da função nos extremos (isso ajuda na interpretação geométrica):
Portanto, no intervalo de
a
o gráfico é uma reta que vai de altura
até altura
.
Passo 4
Usando a sugestão do enunciado (obter geometricamente), a área sob a reta
entre
e
é a área de um trapézio com bases iguais às alturas nas extremidades (
e
) e largura igual a
. A fórmula da área do trapézio é:
onde aqui
,
e
. Substituindo:
Agora fazemos a conta sem calculadora:
. Logo a área é
.
Passo 5
Como verificação (e para te ensinar outra forma), vamos calcular a integral diretamente. A primitiva de
é
onde
é a constante de integração (não precisamos dela ao evaluar definida). Então
Calculando:
Subtraindo:
, que é a mesma área que obtivemos geometricamente. Boa! Confirmação feita.
Passo 6
Finalmente, aplicamos a fórmula do valor médio dividindo a área pela largura do intervalo:
Interpretação: ao longo dos dias de
a
a média do valor da ação é
.
Passo 7
Dica rápida para a prova: para funções lineares
o valor médio em
é simplesmente a média aritmética dos valores nas extremidades, ou seja
Aqui isso dá
, método muito rápido sem integrar. Vai bem na prova — respira fundo, você consegue!