O valor da “ação” de uma empresa negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias x é dado por V(x)=x+10. Qual o valor médio da ação no intervalo de dias de x=10 até x=15 ? (Sugestão: obtenha geometricamente o valor da integral.)

Passo 1

O enunciado dá a função do valor da ação V(x)=x+10 e pede o valor médio da ação no intervalo de dias de x=10 até x=15. Informações relevantes:
  • Função: V(x)=x+10.
  • Intervalo: a=10 e b=15.
  • Pergunta: qual o valor médio de V em [10,15]?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “valor médio” de uma função num intervalo. O valor médio de uma função f em [a,b] é a área sob o gráfico de f entre a e b dividida pela largura do intervalo (b-a). Em fórmulas:
\text{valor médio}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx.é
Aqui f(x) é a função cujo médio queremos, a e b são os extremos do intervalo, e \int_{a}^{b} f(x)\,dx representa a área sob o gráfico de f entre a e b. Para a nossa função, f(x)=V(x)=x+10, a=10, b=15.

Passo 3

Primeiro calculemos os valores da função nos extremos (isso ajuda na interpretação geométrica):
V(10)=10+10=20,
V(15)=15+10=25.
Portanto, no intervalo de x=10 a x=15 o gráfico é uma reta que vai de altura 20 até altura 25.

Passo 4

Usando a sugestão do enunciado (obter geometricamente), a área sob a reta V(x)=x+10 entre x=10 e x=15 é a área de um trapézio com bases iguais às alturas nas extremidades ( 20 e 25) e largura igual a b-a=5. A fórmula da área do trapézio é:
\text{área}=\frac{(\text{base}_1+\text{base}_2)}{2}\times \text{altura},á
onde aqui \text{base}_1=V(10)=20, \text{base}_2=V(15)=25 e \text{altura}=b-a=5. Substituindo:
\text{área}=\frac{20+25}{2}\times 5=\frac{45}{2}\times 5.á
Agora fazemos a conta sem calculadora: \frac{45}{2}\times 5=45\times\frac{5}{2}=45\times 2{,}5=112{,}5. Logo a área é 112{,}5.

Passo 5

Como verificação (e para te ensinar outra forma), vamos calcular a integral diretamente. A primitiva de V(x)=x+10 é
\int (x+10)\,dx=\frac{x^{2}}{2}+10x + C,
onde C é a constante de integração (não precisamos dela ao evaluar definida). Então
\int_{10}^{15} (x+10)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+10x\right]_{10}^{15}.
Calculando:
\frac{15^{2}}{2}+10\cdot15=\frac{225}{2}+150=112{,}5+150=262{,}5,
\frac{10^{2}}{2}+10\cdot10=\frac{100}{2}+100=50+100=150.
Subtraindo: 262{,}5-150=112{,}5, que é a mesma área que obtivemos geometricamente. Boa! Confirmação feita.

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula do valor médio dividindo a área pela largura do intervalo:
\text{valor médio}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} V(x)\,dx=\frac{1}{5}\times 112{,}5=22{,}5.é
Interpretação: ao longo dos dias de x=10 a x=15 a média do valor da ação é 22{,}5.

Passo 7

Dica rápida para a prova: para funções lineares ax+b o valor médio em [a,b] é simplesmente a média aritmética dos valores nas extremidades, ou seja
\text{valor médio}=\frac{f(a)+f(b)}{2}.é
Aqui isso dá \frac{20+25}{2}=22{,}5, método muito rápido sem integrar. Vai bem na prova — respira fundo, você consegue!

Resposta

22{,}5

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