Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right).

Passo 1

O enunciado pede que determinemos se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos calcular a soma.
Informações dadas: o termo geral é \ln\!\left(\dfrac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) para n=1,2,\dots.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a soma parcial e ver sua forma. Seja
S_{N}=\sum_{n=1}^{N} \ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right).
Usamos a propriedade dos logaritmos \ln a+\ln b=\ln(ab) (válida porque todos os fatores são positivos), então
S_{N}=\ln\!\left(\prod_{n=1}^{N}\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right).
Isto nos diz que estudar a soma é equivalente a estudar o comportamento do produto \prod_{n=1}^{N}\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1} quando N\to\infty.

Passo 3

Observação sobre o sinal dos termos: para todo n\ge1 temos n^{2}+1<2n^{2}+1, logo
0<\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}<1,
portanto
\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)<0.
Isso implica que a sequência de somas parciais (S_{N}) é monótona decrescente (cada novo termo adiciona um número negativo). Monotonia sozinha não garante convergência; podemos ter decrescimento para um limite finito ou decrescimento sem limite (tendendo a -\infty). Precisamos decidir qual caso ocorre.

Passo 4

Vamos comparar cada termo com uma expressão mais simples que permita somar. Note que 2n^{2}+1>2n^{2}, então
\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1} \;<\; \frac{n^{2}+1}{2 n^{2}} \;=\; \frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{n^{2}}\Big).
Tomando logaritmo (função crescente), obtemos
\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) \le \ln\!\left(\frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{n^{2}}\Big)\right) = -\ln 2 + \ln\!\Big(1+\frac{1}{n^{2}}\Big).
Agora usamos uma desigualdade útil para \ln: para x>-1 vale \ln(1+x)\le x. (Prova rápida: considere h(x)=\ln(1+x)-x; então h'(x)=\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}\le0 e h(0)=0, logo h(x)\le0.) Aplicando com x=\dfrac{1}{n^{2}}>0 resulta
\ln\!\Big(1+\frac{1}{n^{2}}\Big) \le \frac{1}{n^{2}}.
Combinando,
\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) \le -\ln 2 + \frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Somando a desigualdade do Passo 4 para n=1,\dots,N obtemos
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\ln\!\left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right) \le \sum_{n=1}^{N}\left(-\ln 2 + \frac{1}{n^{2}}\right) = -N\ln 2 + \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{2}}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} é convergente (sua soma é \dfrac{\pi^{2}}{6}), então existe uma constante finita C tal que \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{2}}\le C para todo N. Assim
S_{N} \le -N\ln 2 + C.
Quando N\to\infty o termo -N\ln 2 domina e vai para -\infty, logo o lado direito tende a -\infty. Pela desigualdade, a própria sequência S_{N} também tende a -\infty. Portanto a série não converge para um número finito: diverge para -\infty.

Passo 6

(Comentário extra didático, opcional) Outra visão: da desigualdade do Passo 4 obtemos
\prod_{n=1}^{N}\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1} \le \prod_{n=1}^{N}\frac{1}{2}\Big(1+\frac{1}{n^{2}}\Big) = \left(\frac{1}{2}\right)^{N}\prod_{n=1}^{N}\Big(1+\frac{1}{n^{2}}\Big).
A série \sum \ln(1+1/n^{2}) converge (porque os termos são \sim 1/n^{2}), portanto \prod_{n=1}^{\infty}(1+1/n^{2}) converge para um valor finito D>0. Assim o produto parcial é \le D\cdot(1/2)^{N}, que tende a 0 quando N\to\infty. Logo o logaritmo do produto tende a -\infty, confirmando a conclusão anterior.

Resposta

A série diverge e seus somatórios parciais tendem a -\infty, logo a soma é -\infty.

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