Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
.
Passo 1
O enunciado pede que determinemos se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos calcular a soma.
Informações dadas: o termo geral é para
.
Informações dadas: o termo geral é
Passo 2
Primeiro vamos escrever a soma parcial e ver sua forma. Seja
Usamos a propriedade dos logaritmos
(válida porque todos os fatores são positivos), então
Isto nos diz que estudar a soma é equivalente a estudar o comportamento do produto
quando
.
Passo 3
Observação sobre o sinal dos termos: para todo
temos
, logo
portanto
Isso implica que a sequência de somas parciais
é monótona decrescente (cada novo termo adiciona um número negativo). Monotonia sozinha não garante convergência; podemos ter decrescimento para um limite finito ou decrescimento sem limite (tendendo a
). Precisamos decidir qual caso ocorre.
Passo 4
Vamos comparar cada termo com uma expressão mais simples que permita somar. Note que
, então
Tomando logaritmo (função crescente), obtemos
Agora usamos uma desigualdade útil para
: para
vale
. (Prova rápida: considere
; então
e
, logo
.) Aplicando com
resulta
Combinando,
Passo 5
Somando a desigualdade do Passo 4 para
obtemos
A série
é convergente (sua soma é
), então existe uma constante finita
tal que
para todo
. Assim
Quando
o termo
domina e vai para
, logo o lado direito tende a
. Pela desigualdade, a própria sequência
também tende a
. Portanto a série não converge para um número finito: diverge para
.
Passo 6
(Comentário extra didático, opcional) Outra visão: da desigualdade do Passo 4 obtemos
A série
converge (porque os termos são
), portanto
converge para um valor finito
. Assim o produto parcial é
, que tende a
quando
. Logo o logaritmo do produto tende a
, confirmando a conclusão anterior.
Resposta
A série diverge e seus somatórios parciais tendem a
, logo a soma é
.