Calcule a integral:
\int_{0}^{1} x^{2}\left(1+2 x^{3}\right)^{5} d x;

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2}\left(1+2 x^{3}\right)^{5} \, dx.
Informações dadas:
\;x varia de \;0 até \;1.
O integrando é \;x^{2} multiplicado por \;(1+2x^{3})^{5}.
Objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Observação estratégica (por que isso ajuda): dentro do parêntese temos a função \;1+2x^{3} elevada à quinta potência. A sua derivada em relação a \;x é proporcional a \;x^{2}, que aparece multiplicando. Isso sugere a substituição por uma nova variável que torne a integral mais simples. Vou fazer a substituição
u = 1 + 2x^{3}.
Explico a ideia da substituição de forma didática: quando a integral tem a forma \;f(g(x))\cdot g'(x), podemos trocar a variável para u=g(x) e transformar a integral numa em u, que costuma ser direta de calcular.

Passo 3

Calculo o diferencial \;du para relacionar \;dx com \;du. Diferenciando \;u = 1 + 2x^{3} em relação a \;x obtenho
du = 6x^{2}\,dx.
Isolando \;x^{2}\,dx fica
x^{2}\,dx = \frac{1}{6}\,du.
Aqui estou usando que \;du/dx = 6x^{2}, então \;dx = du/(6x^{2}) e multiplicando por \;x^{2} dá o resultado acima. Esse passo é a essência do método de substituição: trocar o pedaço que envolve x pelo correspondente em u.

Passo 4

Transformo também os limites de integração. Quando \;x=0,
u = 1 + 2\cdot 0^{3} = 1.
Quando \;x=1,
u = 1 + 2\cdot 1^{3} = 3.
Portanto a integral definida em x de 0 a 1 vira uma integral em u de 1 a 3.

Passo 5

Substituo na integral: cada \;(1+2x^{3})^{5} vira \;u^{5} e \;x^{2}\,dx vira \;\frac{1}{6}\,du. Assim
\int_{0}^{1} x^{2}\left(1+2 x^{3}\right)^{5} \, dx = \int_{1}^{3} \frac{1}{6}\,u^{5}\,du.
Posso tirar a constante \;\frac{1}{6} para fora da integral:
\int_{1}^{3} \frac{1}{6}\,u^{5}\,du = \frac{1}{6}\int_{1}^{3} u^{5}\,du.

Passo 6

Agora calculo a integral em u. A primitiva de \;u^{5} é \;\frac{u^{6}}{6}. Portanto
\frac{1}{6}\int_{1}^{3} u^{5}\,du = \frac{1}{6}\left[\frac{u^{6}}{6}\right]_{1}^{3} = \left[\frac{u^{6}}{36}\right]_{1}^{3}.
Avalio nos limites:
\frac{3^{6} - 1^{6}}{36} = \frac{729 - 1}{36} = \frac{728}{36}.
Simplificando a fração, divido numerador e denominador por 4:
\frac{728}{36} = \frac{182}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{182}{9}

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