Calcule a integral:
;
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
Informações dadas:
varia de
até
.
O integrando é multiplicado por
.
Objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral definida.
O integrando é
Objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Observação estratégica (por que isso ajuda): dentro do parêntese temos a função
elevada à quinta potência. A sua derivada em relação a
é proporcional a
, que aparece multiplicando. Isso sugere a substituição por uma nova variável que torne a integral mais simples. Vou fazer a substituição
Explico a ideia da substituição de forma didática: quando a integral tem a forma
, podemos trocar a variável para
e transformar a integral numa em
, que costuma ser direta de calcular.
Passo 3
Calculo o diferencial
para relacionar
com
. Diferenciando
em relação a
obtenho
Isolando
fica
Aqui estou usando que
, então
e multiplicando por
dá o resultado acima. Esse passo é a essência do método de substituição: trocar o pedaço que envolve
pelo correspondente em
.
Passo 4
Transformo também os limites de integração. Quando
,
Quando
,
Portanto a integral definida em
de
a
vira uma integral em
de
a
.
Passo 5
Substituo na integral: cada
vira
e
vira
. Assim
Posso tirar a constante
para fora da integral:
Passo 6
Agora calculo a integral em
. A primitiva de
é
. Portanto
Avalio nos limites:
Simplificando a fração, divido numerador e denominador por
: