Determine a área delimitada pelas curvas indicadas.
x=2 y^2 x=4 x-x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas parábolas x = 2y^2 e x = 4y - y^2. Vamos usar cálculo de área entre curvas em que cada curva é dada como x = f(y).

Passo 2

Para achar os limites da integração, encontramos onde as parábolas se intersectam resolvendo
2y^2 = 4y - y^2
que leva a
3y^2 - 4y = 0 Longrightarrow y(3y - 4)=0

Passo 3

Logo, as interseções estão em y=0 e y=4/3.

Passo 4

Como estamos integrando em relação a y, para cada y fixo a curva mais à direita é x = 4y - y^2 e a mais à esquerda é x = 2y^2. Assim a área é
A = integraly=0^y=4/3 l[(4y - y^2) - 2y^2r] ,dy = integral0^4/3 (4y - 3y^2) ,dy

Passo 5

Agora, basta calcular a integral:
A = [2y^2 - y^3]0^4/3 = 2l(tfrac43r)^2 - l(tfrac43r)^3 = 3227

Resposta

tfrac3227

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