Existe um campo vetorial G em R^3 tal que
rot G(x, y, z)=3 x^2 i+z^2y j+2 z ln y k? Justifique!

Passo 1

O enunciado pergunta se existe um campo vetorial G em R^3 tal que rot,G(x,y,z)=3x^2i+z^2yj+2zln y,k. O conteúdo aqui é Cálculo Vetorial: vamos usar a identidade geral nablacdot(nablatimes G)=0, isto é, a divergência de um rotacional é sempre zero em domínios adequados.

Passo 2

Para testar a condição, definimos F(x,y,z)=3x^2i+z^2yj+2zln y,k e calculamos sua divergência:
Calculando cada termo:
partialpartial x(3x^2)=6x,
partialpartial yl(z^2yr)=-z^2y^2,
partialpartial z(2zln y)=2ln y.
Somando, obtemos nablacdot F=6x-z^2y^2+2ln y, que não é identicamente zero.

Resposta

Não existe tal campo vetorial G, pois a divergência de qualquer rotacional deve ser zero, mas aqui nablacdot(rot,G)=6x-tfracz^2y^2+2ln yneq0.

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