Determine a área delimitada pelas funções dadas a seguir e faça o gráfico em cada um dos casos:
área entre as funções y=2 x^2 e y=x^4-2 x^2, para -2 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir a área delimitada pelas funções e no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área. Vamos precisar entender qual das funções está por cima no intervalo dado para fazer a subtração correta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam, ou seja, onde 2x^2 = x^4 - 2x^2 x^4 - 4x^2 = 0 x^2(x^2 - 4) = 0 . Isso nos ajuda a identificar os limites de integração.
Resolvendo a equação:
Então, ou . Esses são os pontos de interseção dentro do intervalo de a .

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, y = 2(1)^2 = 2 y = (1)^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, a área entre as curvas pode ser calculada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de Área = integral-2^2 (2x^2 - (x^4 - 2x^2)) , dx = integral-2^2 (-x^4 + 4x^2) , dx a :
Á

Passo 5

Como as funções são pares (simétricas em relação ao eixo y), podemos simplificar o cálculo multiplicando a integral de Área = 2 times integral0^2 (-x^4 + 4x^2) , dx a por :
Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
integral (-x^4 + 4x^2) , dx = -x^55 + 4x^33 + C
Agora, avaliamos de [ -2^55 + 4 times 2^33 ] - [ -0^55 + 4 times 0^33 ] = [ -325 + 323 ] - 0 = -325 + 323 a :

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos:
-325 + 323 = -9615 + 16015 = 6415
Multiplicando por Área = 2 times 6415 = 12815 :
Á

Resposta

A área delimitada pelas funções e no intervalo de a é unidades quadradas.

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