Determine a área delimitada pelas funções dadas a seguir e faça o gráfico em cada um dos casos:
área entre as funções
e
, para
área entre as funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é descobrir a área delimitada pelas funções
e
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para calcular essa área. Vamos precisar entender qual das funções está por cima no intervalo dado para fazer a subtração correta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se cruzam, ou seja, onde
. Isso nos ajuda a identificar os limites de integração.
Resolvendo a equação:
Então,
ou
. Esses são os pontos de interseção dentro do intervalo de
a
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo,
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, a área entre as curvas pode ser calculada pela integral da função de cima menos a função de baixo, de
a
:
Passo 5
Como as funções são pares (simétricas em relação ao eixo y), podemos simplificar o cálculo multiplicando a integral de
a
por
:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 7
Vamos calcular os valores numéricos:
Multiplicando por
:
Resposta
A área delimitada pelas funções
e
no intervalo de
a
é
unidades quadradas.