Seja f: R^2 R^3 dada por f(u, v)=(x, y, z), onde lx=u y=v z=u^2+v^2
(a) Dê seu domínio;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $ definida por $ f(u, v) = (x, y, z) $, onde:
f: R^2 R^3
O conteúdo que vamos usar aqui é domínio de uma função. Para determinar o domínio, precisamos identificar todos os possíveis valores de $ (u, v) $ para os quais a função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, os pares $ (u, v) $) para os quais a função $ f $ produz um resultado válido.
Nossa função $ f(u, v) = (u, v, u^{2} + v^{2}) $ envolve operações simples: atribuição direta e soma de quadrados. Não há divisões por zero, raízes quadradas de números negativos ou qualquer outra operação que possa restringir os valores de $ u $ e $ v $.

Passo 3

Como não há restrições sobre os valores de $ u $ e $ v $, eles podem ser qualquer número real. Isso significa que $ u $ e $ v $ pertencem a todos os números reais, ou seja, $ \mathbb{R} $.

Resposta

O domínio da função $ f $ é $ \mathbb{R}^{2} $, ou seja, todos os pares $ (u, v) $ onde $ u $ e $ v $ são números reais.

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