Dizemos que um campo vetorial é irrotacional se, e somente se, seu rotacional é zero. Considere o campo vetorial F(x, y)=-r|r|, onde r=x i+y j.
(b) Verifique que F é irrotacional.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o campo vetorial vec F(x,y) = -vec r|vec r|, com vec r = x,vec i + y,vec j, é irrotacional. Em 2D, dizer que vec F=(P,Q) é irrotacional equivale a mostrar que o rotacional (curl) nablatimesvec F = partial Qpartial x - partial Ppartial y é zero.

Passo 2

Primeiro, identificamos as componentes do campo:
P(x,y) = -xraizx^2+y^2, Q(x,y) = -yraizx^2+y^2

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais de interesse.
Para partial Qpartial x temos:
partial Qpartial x = partialpartial xl(-y(x^2+y^2)^-1/2r) = -ycdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot2x = xy(x^2+y^2)^3/2

Passo 4

Para partial Ppartial y fazemos de modo análogo:
partial Ppartial y = partialpartial yl(-x(x^2+y^2)^-1/2r) = -xcdotl(-tfrac12r)(x^2+y^2)^-3/2cdot2y = xy(x^2+y^2)^3/2

Passo 5

Subtraindo as derivadas, obtemos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = xy(x^2+y^2)^3/2 - xy(x^2+y^2)^3/2 = 0

Passo 6

Como o rotacional é zero (para (x,y)neq(0,0)), concluímos que o campo é irrotacional.

Resposta

O rotacional de vec F é zero, ou seja, nablatimesvec F = 0, portanto o campo é irrotacional.

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