Seja
. Seja
dada por
é integrável em
? Por quê?
Passo 1
O enunciado dá uma função f no disco unitário B⊂ℝ² que vale +1 quando y≥0 e −1 quando y<0 e pergunta se f é integrável em B. O conteúdo principal é o critério de integrabilidade de Riemann em duas variáveis, que exige verificar a medida do conjunto de descontinuidade de f.
Passo 2
Em teoria, um teorema de Riemann para funções limitadas em regiões limitadas de ℝ² diz que f é integrável se o conjunto de pontos onde f é descontínua tiver medida nula (medida de Lebesgue zero).
Devemos então identificar onde f é descontínua. Como f faz um “salto” de +1 a −1 exatamente na reta y=0, o conjunto de descontinuidade é D={ (x,y)∈B | y=0 }.
Devemos então identificar onde f é descontínua. Como f faz um “salto” de +1 a −1 exatamente na reta y=0, o conjunto de descontinuidade é D={ (x,y)∈B | y=0 }.
Passo 3
Observamos que D é um segmento de reta (um arco de circunferência de raio 1, mas medido em ℝ² é um conjunto de dimensão 1). Qualquer conjunto de dimensão 1 em ℝ² tem medida de Lebesgue zero.
Portanto f é limit ada, definida num domínio limitado e tem descontinuidade num conjunto de medida zero. Logo, pelos critérios de Riemann, f é integrável em B.
Portanto f é limit ada, definida num domínio limitado e tem descontinuidade num conjunto de medida zero. Logo, pelos critérios de Riemann, f é integrável em B.
Passo 4
(Opcional) Se quisermos calcular ∫_B f, como as áreas das metades superior e inferior do disco são iguais, a contribuição +1 e −1 se cancelam, de modo que ∫_B f(x,y) dxdy = 0.
Resposta
Sim. f é integrável em B porque é limitada e seu conjunto de descontinuidade – a reta y=0 dentro do disco – tem medida nula, satisfazendo o critério de integrabilidade de Riemann.