Determine a área delimitada pelas funções dadas a seguir e faça o gráfico em cada um dos casos:
área entre as funções y=x^2-4 e y=-x^2-2 x, para -3 <= x <= 1

Passo 1

Estamos querendo encontrar a área delimitada pelas funções e no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar onde as duas funções se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos ajudará a determinar os limites da área que queremos calcular.
Igualamos as duas funções:
x^2 - 4 = -x^2 - 2x

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x^2 - 4 &= -x^2 - 2x x^2 + x^2 + 2x - 4 &= 0 2x^2 + 2x - 4 &= 0 x^2 + x - 2 &= 0 (dividindo por 2) :

Passo 4

Para resolver a equação quadrática x = -b pm raizb^2 - 4ac2a , usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Onde x = 1 e x = -2 , e .
Então, temos duas soluções:

Passo 5

Agora sabemos que as funções se cruzam nos pontos e . Vamos dividir o intervalo de a em duas partes: de a e de a .

Passo 6

Em cada intervalo, precisamos determinar qual função está acima da outra para saber qual subtrair da outra na hora de calcular a área.
  • Entre y1 = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 e y2 = -(-3)^2 - 2(-3) = -9 + 6 = -3 :
    • Escolhemos y1 = 0^2 - 4 = -4 : y2 = -0^2 - 2(0) = 0 Como , a área será .
  • Entre e :
    • Escolhemos : Como , a área será .

Passo 7

Agora, vamos calcular a área usando integrais:
A = integral-3^-2 (y1 - y2) , dx + integral-2^1 (y2 - y1) , dx
Substituindo as funções:
A = integral-3^-2 ( (x^2 - 4) - (-x^2 - 2x) ) dx + integral-2^1 ( (-x^2 - 2x) - (x^2 - 4) ) dx
Simplificando:
A = integral-3^-2 (2x^2 + 2x - 4) , dx + integral-2^1 (-2x^2 - 2x + 4) , dx

Passo 8

Calculando as integrais:
  1. Primeira integral:
integral (2x^2 + 2x - 4) , dx = 23x^3 + x^2 - 4x
Avaliada de ( 23(-2)^3 + (-2)^2 - 4(-2) ) - ( 23(-3)^3 + (-3)^2 - 4(-3) ) = 113 a integral (-2x^2 - 2x + 4) , dx = -23x^3 - x^2 + 4x :
( -23(1)^3 - (1)^2 + 4(1) ) - ( -23(-2)^3 - (-2)^2 + 4(-2) ) = 10
  1. Segunda integral:
Avaliada de a :

Resposta

A área delimitada pelas funções é unidades quadradas.

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