Determine a área delimitada pelas funções dadas a seguir e faça o gráfico em cada um dos casos:
área entre as funções
e
, para
área entre as funções
Passo 1
Estamos querendo encontrar a área delimitada pelas funções
e
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar onde as duas funções se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Isso nos ajudará a determinar os limites da área que queremos calcular.
Igualamos as duas funções:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
:
Passo 4
Para resolver a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Então, temos duas soluções:
Passo 5
Agora sabemos que as funções se cruzam nos pontos
e
. Vamos dividir o intervalo de
a
em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 6
Em cada intervalo, precisamos determinar qual função está acima da outra para saber qual subtrair da outra na hora de calcular a área.
-
Entre
e : - Escolhemos
: Como , a área será .
- Escolhemos
-
Entre
e : - Escolhemos
: Como , a área será .
- Escolhemos
Passo 7
Agora, vamos calcular a área usando integrais:
Substituindo as funções:
Simplificando:
Passo 8
Calculando as integrais:
- Primeira integral:
Avaliada de
a
:
- Segunda integral:
Avaliada de
a
:
Resposta
A área delimitada pelas funções é
unidades quadradas.