Suponha que o lucro de uma empresa farmacêutica pela fabricação e venda de vacinas seja dado por:
d Ld v=2-2(v+1)^2
Onde L é dado em reais e v em unidade de vacinas. Qual o lucro que a farmacêutica deve esperar de uma produção de v=2,5 milhões de vacinas. (É obrigatório usar integral para resolução do exercício)

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre o lucro de uma empresa farmacêutica que fabrica e vende vacinas. A gente tem uma equação que relaciona o lucro com a quantidade de vacinas . Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de integração, que faz parte do cálculo. Precisamos integrar a função dada para encontrar o lucro esperado quando a produção é de milhões de vacinas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos foi dada:
dLdv = 2 - 2(v + 1)^2
Aqui, representa a taxa de variação do lucro em relação à quantidade de vacinas produzidas. Para encontrar o lucro total , precisamos integrar essa função em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
L(v) = integral (2 - 2(v + 1)^2) dv = integral 2 , dv - 2 integral 1(v + 1)^2 , dv
Agora, vamos integrar cada parte:
  1. Integrando integral 2 , dv = 2v :
integral 1(v + 1)^2 , dv = -1v + 1
  1. Integrando -2 integral 1(v + 1)^2 , dv = -2 ( -1v + 1 ) = 2v + 1 :
    Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Juntando as duas partes integradas, temos:
L(v) = 2v + 2v + 1 + C
Onde é a constante de integração. Para determinar , vamos considerar que quando a produção , o lucro .

Passo 5

Aplicando 0 = 2(0) + 20 + 1 + C implies 0 = 0 + 2 + C implies C = -2 na equação:
L(v) = 2v + 2v + 1 - 2
Então, a equação do lucro fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular o lucro para L(2,5) = 2(2,5) + 22,5 + 1 - 2 milhões de vacinas:
2(2,5) = 5
Calculando cada parte:
2,5 + 1 = 3,5 implies 23,5 approx 0,5714
L(2,5) = 5 + 0,5714 - 2 = 3,5714

Resposta

O lucro esperado para uma produção de milhões de vacinas é de aproximadamente 3,571 milhões de reais.

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