Suponha que você precise saber uma equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Você não tem uma equação para
, mas sabe que as curvas
ambas estão em
. Encontre uma equação para o plano tangente em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ P(11, -8, 0) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial. Precisamos descobrir os vetores que são tangentes à superfície nesse ponto e, com eles, determinar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de $ t $ e $ u $ que fazem as curvas $ r_1(t) $ e $ r_2(u) $ passarem pelo ponto $ P(11, -8, 0) $.
Para $ r_1(t) = (2 + 3t, 1 - t^2, 3 - 4t + t^2) $:
Resolvendo a primeira equação:
Vamos verificar com o segundo termo:
E com o terceiro termo:
Então, $ t = 3 $.
Para $ r_2(u) = (7 + u^2, 2u^3 - 24, 2u - 4) $:
Resolvendo a primeira equação:
Vamos verificar com o terceiro termo para descobrir qual valor de $ u $ usar:
Então, $ u = 2 $.
Passo 3
Agora que temos $ t = 3 $ e $ u = 2 $, vamos encontrar os vetores tangentes das curvas $ r_1(t) $ e $ r_2(u) $ no ponto $ P $.
Para encontrar o vetor tangente de uma curva em um ponto, derivamos a função vetorial em relação ao parâmetro e avaliamos no valor correspondente.
Derivando $ r_1(t) $ em relação a $ t $:
Avaliando em $ t = 3 $:
Derivando $ r_2(u) $ em relação a $ u $:
Avaliando em $ u = 2 $:
Passo 4
Agora temos dois vetores tangentes à superfície $ S $ no ponto $ P $:
Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando o produto vetorial:
Podemos simplificar dividindo por 2:
Passo 5
Com o vetor normal $ \mathbf{n} = (-30, 1, 48) $ e o ponto $ P(11, -8, 0) $, podemos montar a equação do plano usando a fórmula:
Onde $ (A, B, C) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas de $ P $.
Substituindo:
Distribuindo:
Simplificando:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ P(11, -8, 0) $ é: