Suponha que você precise saber uma equação do plano tangente à superfície S no ponto P(11,-8,0). Você não tem uma equação para S, mas sabe que as curvas
l r1(t)=(2+3 t, 1-t^2, 3-4 t+t^2) r2(u)=(7+u^2, 2 u^3-24,2 u-4)
ambas estão em S. Encontre uma equação para o plano tangente em P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ P(11, -8, 0) $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial. Precisamos descobrir os vetores que são tangentes à superfície nesse ponto e, com eles, determinar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de $ t $ e $ u $ que fazem as curvas $ r_1(t) $ e $ r_2(u) $ passarem pelo ponto $ P(11, -8, 0) $.
Para $ r_1(t) = (2 + 3t, 1 - t^2, 3 - 4t + t^2) $:
t
Resolvendo a primeira equação:
u
Vamos verificar com o segundo termo:
r1(t)
E com o terceiro termo:
r2(u)
Então, $ t = 3 $.
Para $ r_2(u) = (7 + u^2, 2u^3 - 24, 2u - 4) $:
P(11, -8, 0)
Resolvendo a primeira equação:
r1(t) = (2 + 3t, 1 - t^2, 3 - 4t + t^2)
Vamos verificar com o terceiro termo para descobrir qual valor de $ u $ usar:
2 + 3t = 11 1 - t^2 = -8 3 - 4t + t^2 = 0
Então, $ u = 2 $.

Passo 3

Agora que temos $ t = 3 $ e $ u = 2 $, vamos encontrar os vetores tangentes das curvas $ r_1(t) $ e $ r_2(u) $ no ponto $ P $.
Para encontrar o vetor tangente de uma curva em um ponto, derivamos a função vetorial em relação ao parâmetro e avaliamos no valor correspondente.
Derivando $ r_1(t) $ em relação a $ t $:
t = 3
Avaliando em $ t = 3 $:
u = 2
Derivando $ r_2(u) $ em relação a $ u $:
r1(t)
Avaliando em $ u = 2 $:
r2(u)

Passo 4

Agora temos dois vetores tangentes à superfície $ S $ no ponto $ P $:
S
Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
P
Calculando o produto vetorial:
v1 = (3, -6, 2) e v2 = (4, 24, 2)
n = v1 times v2
n = i & j & k 3 & -6 & 2 4 & 24 & 2 = i((-6)(2) - (2)(24)) - j((3)(2) - (2)(4)) + k((3)(24) - (-6)(4))
Podemos simplificar dividindo por 2:
n = i(-12 - 48) - j(6 - 8) + k(72 + 24) = i(-60) - j(-2) + k(96)

Passo 5

Com o vetor normal $ \mathbf{n} = (-30, 1, 48) $ e o ponto $ P(11, -8, 0) $, podemos montar a equação do plano usando a fórmula:
n = (-30, 1, 48)
Onde $ (A, B, C) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_0, y_0, z_0) $ são as coordenadas de $ P $.
Substituindo:
P(11, -8, 0)
Distribuindo:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Simplificando:
(A, B, C)
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
(x0, y0, z0)

Resposta

A equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ P(11, -8, 0) $ é:
S

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