Calcule a integral indefinida a seguir, simplificando a solução o máximo possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral indefinida que é assim:
Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente das integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar tudo mais fácil. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Passo 3
Substituindo e na integral original, temos:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral. Podemos reescrever como:
Perceba que:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
Primeira parte:
Essa é a integral mais simples, onde a integral de 1 em relação a é apenas .
Segunda parte:
Aqui, usamos uma fórmula de integração para frações racionais do tipo :
No nosso caso, , então:
Passo 6
Agora, juntamos as duas partes que integramos:
2t + 2 ln|t - 2t + 2| + C
Lembrando que fizemos a substituição 2raizx + 3 + 2 ln|raizx + 3 - 2raizx + 3 + 2| + C , vamos substituir de volta: