Calcule a integral indefinida a seguir, simplificando a solução o máximo possível.
+C integral raizx+3x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral indefinida que é assim:
integral raizx + 3x - 1 , dx
Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente das integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar tudo mais fácil. Vamos definir:
t = raizx + 3
Isso significa que:
t = raizx + 3 Rightarrow t^2 = x + 3 Rightarrow x = t^2 - 3
Agora, vamos calcular a derivada de dxdt = 2t Rightarrow dx = 2t , dt em relação a para encontrar :

Passo 3

Substituindo integral raizx + 3x - 1 , dx = integral t(t^2 - 3) - 1 cdot 2t , dt = integral tt^2 - 4 cdot 2t , dt e integral 2t^2t^2 - 4 , dt na integral original, temos:
Simplificando a expressão:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração dentro da integral. Podemos reescrever 2t^2t^2 - 4 = 2 cdot t^2t^2 - 4 como:
t^2t^2 - 4 = 1 + 4t^2 - 4
Perceba que:
2 integral (1 + 4t^2 - 4) , dt = 2 integral 1 , dt + 8 integral 1t^2 - 4 , dt
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver cada parte da integral separadamente.
  1. Primeira parte:
2 integral 1 , dt = 2t
Essa é a integral mais simples, onde a integral de 1 em relação a 8 integral 1t^2 - 4 , dt é apenas integral 1t^2 - a^2 , dt = 12a ln|t - at + a| + C .
  1. Segunda parte:
8 cdot 14 ln|t - 2t + 2| = 2 ln|t - 2t + 2|
Aqui, usamos uma fórmula de integração para frações racionais do tipo :
No nosso caso, , então:

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
2t + 2 ln|t - 2t + 2| + C
Lembrando que fizemos a substituição 2raizx + 3 + 2 ln|raizx + 3 - 2raizx + 3 + 2| + C , vamos substituir de volta:

Resposta

A integral indefinida é:
2,raizx + 3 + 2,ln|raizx + 3 - 2raizx + 3 + 2| + C

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