1. Determine o volume delimitado pelo parabolóide z=a-x^{2}-y^{2} e o plano x y.

Passo 1

O enunciado dá o parabolóide \,z=a-x^{2}-y^{2}\, e o plano xy (ou seja, z=0). Pede o volume limitado entre essas superfícies. Informações relevantes:
  • A superfície superior é \,z=a-x^{2}-y^{2}\,.
  • A superfície inferior é o plano z=0.
  • O volume procurado é a região onde \,a-x^{2}-y^{2}\ge0\, (pois queremos os pontos entre o parabolóide e o plano).
  • Observação importante: o valor de a determina se há volume positivo. Se a\le0 não existe região com z>0 (volume nulo). Se a>0 a região existe (um disco no plano xy).

Passo 2

Encontrar a projeção da região no plano xy. A condição \,a-x^{2}-y^{2}\ge0\, é equivalente a
x^{2}+y^{2}\le a.
Portanto a projeção é um disco centrado em (0,0) de raio \sqrt{a} (quando a>0). Vou usar essa projeção como domínio de integração no plano.

Passo 3

Fórmula do volume sob uma superfície: se a superfície superior é z=f(x,y) e a projeção no plano xy é D, então
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=a-x^{2}-y^{2} e D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a\} (para a>0). Como D é um disco, é muito conveniente usar coordenadas polares; explico a mudança:
Em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares não é dr\,d\theta simples: existe o fator jacobiano r. Assim
dA = r\,dr\,d\theta.
No nosso caso, o domínio D corresponde a 0\le r\le\sqrt{a} e 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 4

Escrever a integral do volume em polares. Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} e dA=r\,dr\,d\theta, obtemos a integral dupla
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{a}} \bigl(a-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Vou calcular essa integral passo a passo. Note que dentro da integral o integrando é (a-r^{2})r = a r - r^{3}.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{\sqrt{a}} \bigl(a r - r^{3}\bigr)\,dr = \left[\frac{a r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt{a}}.
Avalio em r=\sqrt{a}:
\frac{a(\sqrt{a})^{2}}{2}-\frac{(\sqrt{a})^{4}}{4} = \frac{a\cdot a}{2}-\frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4}.
Agora integro em \theta (que só escala por 2\pi):
V=\int_{0}^{2\pi} \frac{a^{2}}{4}\,d\theta = \frac{a^{2}}{4}\cdot 2\pi = \frac{\pi a^{2}}{2}.
Lembre que isso vale apenas quando a>0. Se a\le0 a desigualdade x^{2}+y^{2}\le a não tem pontos reais e o volume é 0.

Resposta

\displaystyle V=\frac{\pi a^{2}}{2} para a>0.\n \displaystyle V=0 para a\le0.

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