- Determine o volume delimitado pelo parabolóide
e o plano
.
Passo 1
O enunciado dá o parabolóide
e o plano
(ou seja,
). Pede o volume limitado entre essas superfícies. Informações relevantes:
- A superfície superior é
. - A superfície inferior é o plano
. - O volume procurado é a região onde
(pois queremos os pontos entre o parabolóide e o plano). - Observação importante: o valor de
determina se há volume positivo. Se não existe região com (volume nulo). Se a região existe (um disco no plano ).
Passo 2
Encontrar a projeção da região no plano
. A condição
é equivalente a
Portanto a projeção é um disco centrado em
de raio
(quando
). Vou usar essa projeção como domínio de integração no plano.
Passo 3
Fórmula do volume sob uma superfície: se a superfície superior é
e a projeção no plano
é
, então
Aqui
e
(para
). Como
é um disco, é muito conveniente usar coordenadas polares; explico a mudança:
Em coordenadas polares definimos
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo. O elemento de área em coordenadas polares não é
simples: existe o fator jacobiano
. Assim
No nosso caso, o domínio
corresponde a
e
.
Passo 4
Escrever a integral do volume em polares. Substituindo
e
, obtemos a integral dupla
Vou calcular essa integral passo a passo. Note que dentro da integral o integrando é
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Avalio em
:
Agora integro em
(que só escala por
):
Lembre que isso vale apenas quando
. Se
a desigualdade
não tem pontos reais e o volume é
.