Nos itens abaixo, determine y^prime sendo que y é dada implicitamente como função de x.
sen(x^2) y-ln (y^2)=x y^3+cos (y)

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita entre x e y: sin(x^2),y - ln(y^2) = x,y^3 + cos(y). O conteúdo é derivação implícita, e vamos precisar das regras do produto, cadeia e soma para diferenciar ambos os lados em relação a x, lembrando que y é função de x (logo aparece y').

Passo 2

Diferenciamos o lado esquerdo L = sin(x^2),y - ln(y^2). Para sin(x^2),y usamos produto e cadeia:
ddx[sin(x^2),y]=l(2xcos(x^2)r),y + sin(x^2),y
Para -ln(y^2) usamos cadeia:
ddx[-ln(y^2)]= -1y^2cdot 2y,y' = -2y,y'
Logo a derivada do lado esquerdo é
2xcos(x^2),y + sin(x^2),y' - 2y,y'

Passo 3

Agora diferenciamos o lado direito R = x,y^3 + cos(y). Para x,y^3 usamos produto:
ddx[x,y^3] = 1cdot y^3 + xcdot 3y^2,y' = y^3 + 3x,y^2,y'
Para cos(y) é cadeia:
ddx[cos(y)] = -sin(y),y'
Logo a derivada do lado direito é
y^3 + 3x,y^2,y' - sin(y),y'

Passo 4

Agora igualamos as derivadas, trazemos todos os termos com y' para um lado e os sem y' para o outro:
2xcos(x^2),y + sin(x^2),y' - 2y,y' = y^3 + 3x,y^2,y' - sin(y),y'

Passo 5

Isolando os termos com y':
sin(x^2),y' - 2y,y' - 3x,y^2,y' + sin(y),y' = y^3 - 2xcos(x^2),y

Passo 6

Factoramos y' e obtemos
y'l(sin(x^2) - tfrac2y - 3x,y^2 + sin(y)r) = y^3 - 2x,ycos(x^2)
Portanto, isolando y', temos a derivada procurada:

Resposta

y' = y^3 - 2x,ycos(x^2)sin(x^2) + sin(y) - 3x,y^2 - tfrac2y

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