Determine a área de um hexágono regular:
cujo apótema mede
.
cujo apótema mede
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: o apótema do hexágono regular é
. - Pedido: determinar a área do hexágono regular.
Lista curta das informações relevantes:
- O apótema é a distância do centro do polígono até o ponto médio de um lado (altura dos triângulos que formam o polígono).
- Trata-se de um hexágono regular (todos os lados iguais, todos os ângulos centrais iguais).
Passo 2
Fórmula prática para a área de um polígono regular e por que ela vale:
- Para um polígono regular com perímetro
e apótema , a área vale
Explicação didática: dividir o polígono em
triângulos isósceles congruentes, cada um com base igual ao lado
e altura igual ao apótema
. A área de cada triângulo é
. Somando os
triângulos:
onde
é o número de lados e
é o perímetro. Aqui, para hexágono
.
Passo 3
Relação entre apótema
e lado
no hexágono regular:
- No hexágono regular, o centro ligado a dois vértices consecutivos forma um triângulo com ângulo central
. Esse triângulo é equilátero, portanto o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado . O apótema é a altura desse triângulo equilátero. - A altura de um triângulo equilátero de lado
é . Assim,
Nesta relação,
é o apótema (altura do triângulo) e
é o comprimento do lado do hexágono.
Passo 4
Isolar o lado
a partir de
e substituir o valor dado do apótema:
- Isolando
:
- Substituindo
:
Comentário: o
no numerador e denominador cancelam, sobrando
.
Passo 5
Calcular o perímetro
:
- Como o hexágono tem 6 lados iguais,
Passo 6
Calcular a área usando
:
- Substituindo
e :
- Simplificando passo a passo:
logo
Observação extra (checagem opcional): usando a fórmula
para hexágono regular, com
,
confirma o resultado.