Determine a área de um hexágono regular:
cujo apótema mede 12 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: o apótema do hexágono regular é a = 12\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
  • Pedido: determinar a área do hexágono regular.
Lista curta das informações relevantes:
  • O apótema é a distância do centro do polígono até o ponto médio de um lado (altura dos triângulos que formam o polígono).
  • Trata-se de um hexágono regular (todos os lados iguais, todos os ângulos centrais iguais).

Passo 2

Fórmula prática para a área de um polígono regular e por que ela vale:
  • Para um polígono regular com perímetro P e apótema a, a área vale
A=\frac{P\cdot a}{2}.
Explicação didática: dividir o polígono em n triângulos isósceles congruentes, cada um com base igual ao lado s e altura igual ao apótema a. A área de cada triângulo é \dfrac{s\cdot a}{2}. Somando os n triângulos:
A=n\cdot\frac{s\cdot a}{2}=\frac{(n s)\,a}{2}=\frac{P\cdot a}{2},
onde n é o número de lados e P=n s é o perímetro. Aqui, para hexágono n=6.

Passo 3

Relação entre apótema a e lado s no hexágono regular:
  • No hexágono regular, o centro ligado a dois vértices consecutivos forma um triângulo com ângulo central \dfrac{360^\circ}{6}=60^\circ. Esse triângulo é equilátero, portanto o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado s. O apótema é a altura desse triângulo equilátero.
  • A altura de um triângulo equilátero de lado s é \dfrac{\sqrt{3}}{2}s. Assim,
a=\frac{\sqrt{3}}{2}\,s.
Nesta relação, a é o apótema (altura do triângulo) e s é o comprimento do lado do hexágono.

Passo 4

Isolar o lado s a partir de a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}s e substituir o valor dado do apótema:
  • Isolando s:
s=\frac{2a}{\sqrt{3}}.
  • Substituindo a=12\sqrt{3}:
s=\frac{2\cdot 12\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=24\\ \mathrm{cm}.
Comentário: o \sqrt{3} no numerador e denominador cancelam, sobrando 24.

Passo 5

Calcular o perímetro P:
  • Como o hexágono tem 6 lados iguais,
P=6s=6\cdot 24=144\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Calcular a área usando A=\dfrac{P\cdot a}{2}:
  • Substituindo P=144 e a=12\sqrt{3}:
A=\frac{144\cdot 12\sqrt{3}}{2}.
  • Simplificando passo a passo:
\frac{144}{2}=72, \qquad 72\cdot 12=864,
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A=864\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2.
Observação extra (checagem opcional): usando a fórmula A=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}s^2 para hexágono regular, com s=24,
A=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 24^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 576=864\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2,
confirma o resultado.

Resposta

864\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}^2

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