Determine a área interior a
e
.
e
Passo 1
Temos duas curvas em coordenadas polares:
e
. O objetivo é achar a área da região “entre” essas duas curvas, ou seja, limitada por ambas. Para isso, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares.
Passo 2
Precisamos primeiro encontrar os ângulos onde as duas curvas se intersectam, pois esses serão os limites da nossa integral. Fazemos
:
Logo, as interseções ocorrem em
.
Passo 3
Entre esses ângulos, temos que
pertence ao intervalo
e obtemos
e
, ou seja,
. Portanto, no intervalo
, a curva
é a fronteira externa e
a interna.
Passo 4
A área entre duas curvas polares é dada por
Aplicando com
e
, fica
Passo 5
Vamos simplificar o integrando:
Passo 6
Agora integramos termo a termo:
Somando,
Passo 7
Avaliamos de
a
:
Multiplicando por
dá