Determine a área interior a r2 e r1.
r1=4+3 cos theta e r2=11 cos theta

Passo 1

Temos duas curvas em coordenadas polares: r1(theta)=4+3costheta e r2(theta)=11costheta. O objetivo é achar a área da região “entre” essas duas curvas, ou seja, limitada por ambas. Para isso, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares.

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar os ângulos onde as duas curvas se intersectam, pois esses serão os limites da nossa integral. Fazemos r1=r2:
4+3costheta=11costheta
4=8costheta implies costheta=tfrac12
Logo, as interseções ocorrem em theta=pmtfracpi3.

Passo 3

Entre esses ângulos, temos que theta=0 pertence ao intervalo [-tfracpi3,tfracpi3]) e obtemos r1(0)=7 e r2(0)=11, ou seja, r2>r1. Portanto, no intervalo [-tfracpi3,tfracpi3]), a curva r2 é a fronteira externa e r1 a interna.

Passo 4

A área entre duas curvas polares é dada por
A=12integraltheta1^theta2l(rexterna^2(theta)-rinterna^2(theta)r),dtheta
Aplicando com theta1=-tfracpi3 e theta2=tfracpi3, fica
A=12integral-pi3^pi3l((11costheta)^2-(4+3costheta)^2r),dtheta

Passo 5

Vamos simplificar o integrando:
(11costheta)^2-(4+3costheta)^2=121cos^2theta-(16+24costheta+9cos^2theta)
=112cos^2theta-24costheta-16

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integral112cos^2theta,dtheta=112integral1+cos2theta2,dtheta=56l(theta+tfrac12sin2thetar),
integral(-24costheta),dtheta=-24sintheta,
integral(-16),dtheta=-16theta
Somando,
integrall(112cos^2theta-24costheta-16r)dtheta=40theta+28sin2theta-24sintheta

Passo 7

Avaliamos de -tfracpi3 a tfracpi3:
l[40theta+28sin2theta-24sinthetar]-pi3^pi3 =l(40cdottfracpi3+2raiz3r)-l(-40cdottfracpi3-2raiz3r) =80pi3+4raiz3
Multiplicando por tfrac12
A=12l(80pi3+4raiz3r)=40pi3+2raiz3

Resposta

A=40pi3+2raiz3

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