Determine a área interior a
e exterior a
.
e
Passo 1
A questão quer a área da região que fica por dentro da curva r₂(θ)=2 (um círculo de raio 2) e por fora da curva r₁(θ)=4+4 sen θ (um cardioide). Vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares e identificar as fronteiras de θ onde essa região existe.
Passo 2
Precisamos achar os ângulos onde as duas curvas se cruzam, ou seja, resolver r₁=r₂:
Passo 3
As soluções no intervalo [0,2π) são θ₁=7π/6 e θ₂=11π/6. Além disso, a região existe apenas quando r₁(θ)≤r₂, ou seja, quando sen θ≤−½, exatamente para θ∈[7π/6,11π/6].
Passo 4
A área procurada é dada por
Passo 5
Vamos expandir o integrando:
Passo 6
Logo,
Passo 7
Agora integramos termo a termo, usando a identidade
ou a primitiva conhecida
.
Após calcular
Após calcular