Determine a área interior a r2 e exterior a r1.
r1=4+4 sen theta e r2=2

Passo 1

A questão quer a área da região que fica por dentro da curva r₂(θ)=2 (um círculo de raio 2) e por fora da curva r₁(θ)=4+4 sen θ (um cardioide). Vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares e identificar as fronteiras de θ onde essa região existe.

Passo 2

Precisamos achar os ângulos onde as duas curvas se cruzam, ou seja, resolver r₁=r₂:
4 + 4,sen,θ = 2 implies 4,sen,θ = -2 implies sen,θ = -tfrac12

Passo 3

As soluções no intervalo [0,2π) são θ₁=7π/6 e θ₂=11π/6. Além disso, a região existe apenas quando r₁(θ)≤r₂, ou seja, quando sen θ≤−½, exatamente para θ∈[7π/6,11π/6].

Passo 4

A área procurada é dada por
A = 12 integral7π/6^11π/6 l(r₂^2 - r₁^2r),dθ = 12 integral7π/6^11π/6 l(2^2 - (4+4,sen,θ)^2r),dθ

Passo 5

Vamos expandir o integrando:
2^2 = 4, (4+4,sen,θ)^2 = 16 + 32,sen,θ + 16,sen^2θ

Passo 6

Logo,
r₂^2 - r₁^2 = 4 - l(16 + 32,sen,θ + 16,sen^2θr) = -12 -32,sen,θ -16,sen^2θ

Passo 7

Agora integramos termo a termo, usando a identidade sen^2θ=tfrac12(1-sen(2θ)) ou a primitiva conhecida integralsen^2θ,dθ = tfrac12(θ - senθcosθ).
Após calcular
I = integral7π/6^11π/6 l(-12 -32,sen,θ -16,sen^2θr),dθ = -40π3 + 28raiz3, vem
A = 12 I = 14raiz3 - 20π3

Resposta

A = 14raiz3 - tfrac20pi3.

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