Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r2=2+2 cos theta e r1=6 cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica por dentro da curva r1=6costheta e por fora da curva r2=2+2costheta, em coordenadas polares. O conteúdo aqui é cálculo de área em polares, usando a fórmula A=tfrac12integral (router^2 - rinner^2),dtheta.

Passo 2

Para encontrar onde as curvas se interceptam, igualamos r1=r2:
6costheta = 2 + 2costheta
Isso dá
4costheta = 2 Rightarrow costheta = tfrac12
Logo theta=pmpi/3.

Passo 3

Precisamos determinar em que intervalo r1>= r2. Como 6costheta >= 2+2costheta leva a costheta>=tfrac12, concluímos que o ângulo varia de -pi/3 a pi/3.

Passo 4

Agora montamos a integral da área:
A = 12 integral-pi/3^pi/3l[(6costheta)^2 - (2+2costheta)^2r] ,dtheta

Passo 5

Expandindo o integrando:
(6costheta)^2 = 36cos^2theta, (2+2costheta)^2 = 4 + 8costheta + 4cos^2theta
Então
36cos^2theta - (4 + 8costheta + 4cos^2theta) = 32cos^2theta - 8costheta - 4
Integramos termo a termo usando integralcos^2theta,dtheta=tfrac12theta+tfrac14sin2theta, integralcostheta,dtheta=sintheta e integral dtheta=theta.

Passo 6

Fazendo a conta completa, encontra-se que o valor da integral interna é I=8pi. Como a fórmula tem tfrac12 na frente, a área final é:
A = 12 cdot 8pi = 4pi

Resposta

4pi

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