Determine a equação, no sistema ortogonal de coordenadas cartesianas OXY, do lugar geométrico definido pela equação polar rho=3.

Passo 1

Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para transformar uma equação do sistema de coordenadas polares para o sistema de coordenadas cartesianas, que a gente também chama de OXY. A equação dada é . Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas polares para cartesianas e usar as fórmulas de conversão para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares e cartesianas. No sistema polares, um ponto é definido por dois valores: (a distância do ponto até a origem) e (o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo X positivo). Já no sistema cartesianas, usamos e para definir a posição do ponto.

Passo 3

A gente sabe que para converter de coordenadas polares para cartesianas, as fórmulas são:
x = rho cdot cos(theta)
y = rho cdot sin(theta)
Essas fórmulas ajudam a transformar os parâmetros e em coordenadas e que a gente usa no sistema cartesianas.

Passo 4

No exercício, a equação dada é . Isso significa que estamos lidando com todos os pontos que estão a uma distância constante de 3 unidades da origem, independente do ângulo . Geometricamente, isso representa um círculo com raio 3 centrado na origem do sistema coordenadas.

Passo 5

Para encontrar a equação no sistema cartesianas, vamos usar as fórmulas de conversão. Sabemos que:
x = rho cdot cos(theta)
y = rho cdot sin(theta)
Como x = 3 cdot cos(theta) , podemos substituir:
y = 3 cdot sin(theta)
cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica básica:

Passo 6

Vamos elevar x^2 = 9 cdot cos^2(theta) e y^2 = 9 cdot sin^2(theta) ao quadrado e somar as duas equações:
x^2 + y^2 = 9 cdot (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = 9 cdot 1 = 9
Somando:

Passo 7

Pronto! A equação cartesianas que representa todos os pontos a uma distância de 3 unidades da origem é:
x^2 + y^2 = 9

Resposta

A equação no sistema cartesianas é .

Exercícios relacionados