Determine a equação, no sistema ortogonal de coordenadas cartesianas OXY, do lugar geométrico definido pela equação polar
.
Passo 1
Beleza! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para transformar uma equação do sistema de coordenadas polares para o sistema de coordenadas cartesianas, que a gente também chama de OXY. A equação dada é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas polares para cartesianas e usar as fórmulas de conversão para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas polares e cartesianas. No sistema polares, um ponto é definido por dois valores:
(a distância do ponto até a origem) e
(o ângulo que a linha que liga o ponto à origem faz com o eixo X positivo). Já no sistema cartesianas, usamos
e
para definir a posição do ponto.
Passo 3
A gente sabe que para converter de coordenadas polares para cartesianas, as fórmulas são:
Essas fórmulas ajudam a transformar os parâmetros
e
em coordenadas
e
que a gente usa no sistema cartesianas.
Passo 4
No exercício, a equação dada é
. Isso significa que estamos lidando com todos os pontos que estão a uma distância constante de 3 unidades da origem, independente do ângulo
. Geometricamente, isso representa um círculo com raio 3 centrado na origem do sistema coordenadas.
Passo 5
Para encontrar a equação no sistema cartesianas, vamos usar as fórmulas de conversão. Sabemos que:
Como
, podemos substituir:
Agora, vamos usar a identidade trigonométrica básica:
Passo 6
Vamos elevar
e
ao quadrado e somar as duas equações:
Somando:
Passo 7
Pronto! A equação cartesianas que representa todos os pontos a uma distância de 3 unidades da origem é:
Resposta
A equação no sistema cartesianas é
.