(b) use a parte (a) para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C dada.
F(x, y, z)=(y^2 z+2 x z^2) i+2 x y z j+(x y^2+2 x^2 z) k
C: x=raizt, y=t+1, z=t^2, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular integralC Fcdot dr, onde F(x,y,z)=(y^2z+2xz^2,,2xyz,,xy^2+2x^2z) e C é dada por x=raiz t, y=t+1, z=t^2, 0<= t<=1. O conteúdo aqui é campo conservativo e o teorema fundamental de cálculo para integrais de linha, então vamos precisar verificar se F é conservativo e achar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro verificamos se F é conservativo calculando o rotacional nablatimesF. Checamos as componentes: todas satisfazem as igualdades
partial Fz/partial y=partial Fy/partial z,
partial Fx/partial z=partial Fz/partial x e
partial Fy/partial x=partial Fx/partial y. Logo nablatimesF=0, então F é conservativo.

Passo 3

Como F é conservativo, existe potencial f tal que nabla f=F. Integramos
partial f/partial x=Fx=y^2z+2xz^2 em x, obtendo
f(x,y,z)=xy^2z+x^2z^2+g(y,z).
Comparando com Fy e Fz vemos que g é constante. Assim podemos escolher
f(x,y,z)=xy^2z+x^2z^2.

Passo 4

Pelo teorema fundamental para integrais de linha vale
integralCFcdot dr=fl(r(1)r)-fl(r(0)r).
Aqui r(1)=(1,2,1) e r(0)=(0,1,0). Logo
f(1,2,1)=1cdot4cdot1+1^2cdot1^2=5
e
f(0,1,0)=0.
Portanto a integral é 5.

Resposta

5

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