Determine a área interior a
e exterior a
.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área que está dentro da curva $ r_{1} = 2 + 3\cos \theta $ e fora da curva $ r_{2} = \frac{7}{2} $. Estamos trabalhando com coordenadas polares, que é um sistema onde cada ponto é definido por uma distância $ r $ e um ângulo $ \theta $. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área entre essas duas curvas usando integrais em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas. A curva $ r_{1} = 2 + 3\cos \theta $ é um tipo de cardioide, que tem uma forma arredondada. A curva $ r_{2} = \frac{7}{2} $ é um círculo com raio constante de $ \frac{7}{2} $. Nosso objetivo é encontrar a área que está dentro do cardioide e fora do círculo.
Passo 3
Para achar a área entre duas curvas em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Aqui, $ \alpha $ e $ \beta $ são os limites de integração, que são os pontos onde as duas curvas se intersectam.
Passo 4
Vamos encontrar onde as duas curvas se intersectam, ou seja, onde $ r_{1} = r_{2} $:
Resolvendo para $ \cos \theta $:
O que nos dá $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{3} $.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração de $ \theta = \frac{\pi}{3} $ a $ \theta = \frac{5\pi}{3} $.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula da área:
Passo 7
Vamos expandir $ (2 + 3\cos \theta)^{2} $:
Substituindo de volta:
Simplificando os termos constantes:
Então:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
- Integra de $ -\frac{33}{4} $:
- Integra de $ 12\cos \theta $:
- Integra de $ 9\cos^{2} \theta $:
Usamos a identidade $ \cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} $:
Passo 9
Juntando tudo:
Simplificando os coeficientes:
Então:
Passo 10
Agora, vamos avaliar entre $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{3} $:
Calculando em $ \theta = \frac{5\pi}{3} $:
E em $ \theta = \frac{\pi}{3} $:
Subtraindo as duas avaliações e simplificando usando valores conhecidos de seno:
Simplificando os termos:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área interior a $ r_{1} = 2 + 3\cos \theta $ e exterior a $ r_{2} = \frac{7}{2} $ é $ \frac{5\pi}{2} $ unidades de área.