Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=2+3 cos theta e r2=7 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a área que está dentro da curva $ r_{1} = 2 + 3\cos \theta $ e fora da curva $ r_{2} = \frac{7}{2} $. Estamos trabalhando com coordenadas polares, que é um sistema onde cada ponto é definido por uma distância $ r $ e um ângulo $ \theta $. Para resolver isso, vamos precisar calcular a área entre essas duas curvas usando integrais em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas. A curva $ r_{1} = 2 + 3\cos \theta $ é um tipo de cardioide, que tem uma forma arredondada. A curva $ r_{2} = \frac{7}{2} $ é um círculo com raio constante de $ \frac{7}{2} $. Nosso objetivo é encontrar a área que está dentro do cardioide e fora do círculo.

Passo 3

Para achar a área entre duas curvas em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Área = 12 integralalpha^beta ( r1^2 - r2^2 ) dtheta Á
Aqui, $ \alpha $ e $ \beta $ são os limites de integração, que são os pontos onde as duas curvas se intersectam.

Passo 4

Vamos encontrar onde as duas curvas se intersectam, ou seja, onde $ r_{1} = r_{2} $:
r1 = r2
Resolvendo para $ \cos \theta $:
2 + 3cos theta = 72
O que nos dá $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{3} $.

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração de $ \theta = \frac{\pi}{3} $ a $ \theta = \frac{5\pi}{3} $.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da área:
Área = 12 integralpi3^5pi3 ( (2 + 3cos theta)^2 - (72)^2 ) dtheta Á

Passo 7

Vamos expandir $ (2 + 3\cos \theta)^{2} $:
(2 + 3cos theta)^2
Substituindo de volta:
(2 + 3cos theta)^2 = 4 + 12cos theta + 9cos^2 theta Á
Simplificando os termos constantes:
Área = 12 integralpi3^5pi3 ( 4 + 12cos theta + 9cos^2 theta - 494 ) dtheta
Então:
4 - 494 = -334 Á

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. Integra de $ -\frac{33}{4} $:
-334
  1. Integra de $ 12\cos \theta $:
-334 theta
  1. Integra de $ 9\cos^{2} \theta $:
    Usamos a identidade $ \cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} $:
12cos theta

Passo 9

Juntando tudo:
Área = 12 [ -334 theta + 12sin theta + 92 theta + 94 sin 2theta ]pi3^5pi3 Á
Simplificando os coeficientes:
-334 theta + 92 theta = -334 theta + 184 theta = -154 theta
Então:
Área = 12 [ -154 theta + 12sin theta + 94 sin 2theta ]pi3^5pi3 Á

Passo 10

Agora, vamos avaliar entre $ \theta = \frac{\pi}{3} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{3} $:
Calculando em $ \theta = \frac{5\pi}{3} $:
theta = pi3
E em $ \theta = \frac{\pi}{3} $:
theta = 5pi3
Subtraindo as duas avaliações e simplificando usando valores conhecidos de seno:
theta = 5pi3 Á
Simplificando os termos:
-154 cdot 5pi3 + 12sin ( 5pi3 ) + 94 sin ( 10pi3 ) Á
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área interior a $ r_{1} = 2 + 3\cos \theta $ e exterior a $ r_{2} = \frac{7}{2} $ é $ \frac{5\pi}{2} $ unidades de área.

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