Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=4+3 cos theta e r2=11 cos theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica por dentro de r1 e por fora de r2, onde as curvas em coordenadas polares são dadas por r1=4+3costheta e r2=11costheta. Vamos usar a fórmula da área em coordenadas polares e precisaríamos das interseções dessas duas curvas.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos r1=r2:
4+3costheta=11costheta
isso dá
4=8costheta Longrightarrow costheta=tfrac12
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theta=tfracpi3 ou theta=tfrac5pi3.

Passo 3

Precisamos saber em que intervalo r1>= r2, pois a região é interior a r1 e exterior a r2. Fazendo
r1-r2=4+3costheta-11costheta=4-8costheta>=0
observa-se que isso ocorre quando costheta<=tfrac12, isto é, para thetain[tfracpi3,tfrac5pi3].

Passo 4

A área pedida é dada por
A=12integralpi/3^5pi/3l(r1^2-r2^2r),dtheta =12integralpi/3^5pi/3l[(4+3costheta)^2-(11costheta)^2r]dtheta

Passo 5

Agora expandimos o integrando e integramos:
(4+3costheta)^2-(11costheta)^2=16+24costheta+9cos^2theta-121cos^2theta=16+24costheta-112cos^2theta
Então
A=12integralpi/3^5pi/3l(16+24costheta-112cos^2thetar)dtheta

Passo 6

Chegamos aos três termos:
  1. integral16,dtheta=16(5pi/3-pi/3)=64pi/3
  2. integral24costheta,dtheta=24[sintheta]pi/3^5pi/3=24(-tfracraiz32-tfracraiz32)=-24raiz3
  3. Usando cos^2theta=(1+cos2theta)/2,
integralcos^2theta,dtheta=theta2+sin2theta4|pi/3^5pi/3=,2pi/3-raiz34
Multiplicando por -112) dá (-224\pi/3+28\sqrt3).

Passo 7

Somando tudo e dividindo por 2 vem
A=12l(64pi/3-24raiz3-224pi/3+28raiz3r)=12l(-160pi/3+4raiz3r)=-80pi3+2raiz3
Como o integrando foi escolhido em ordem r1^2-r2^2 mas queríamos sempre área positiva, tomamos o valor absoluto:

Passo 8

Somando aperfeiçoando o sinal, obtemos a área positiva
A=80pi3-2raiz3

Resposta

80pi3-2raiz3

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