Determine a área interior a
e exterior a
.
e
Passo 1
Na questão queremos determinar a área da região que está dentro da curva em coordenadas polares
e fora do círculo de raio constante
. O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula da área entre duas curvas polar.
Passo 2
Primeiro encontramos onde as duas curvas se interceptam, resolvendo
:
Logo
Isso dá as soluções
Passo 3
Para os ângulos em que
, ou seja
, a região entre as curvas é descrita por
. A fórmula da área em coordenadas polares para essa região é
Passo 4
Expandindo e simplificando o integrando, temos
logo
Usando
segue que
Portanto o integrando com o fator
é
Passo 5
Agora integramos termo a termo:
Então
Passo 6
Finalmente, avaliando nos limites:
Somando tudo obtemos