Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=5+2 sen theta e r2=6

Passo 1

Na questão queremos determinar a área da região que está dentro da curva em coordenadas polares r1 = 5 + 2sintheta e fora do círculo de raio constante r2 = 6. O conteúdo é área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula da área entre duas curvas polar.

Passo 2

Primeiro encontramos onde as duas curvas se interceptam, resolvendo r1 = r2:
5 + 2sintheta = 6
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sintheta = 12
Isso dá as soluções
theta = pi6 e theta = 5pi6

Passo 3

Para os ângulos em que r1 >= r2, ou seja theta in [tfracpi6,tfrac5pi6], a região entre as curvas é descrita por 6 <= r <= 5+2sintheta. A fórmula da área em coordenadas polares para essa região é
A = 12 integralpi/6^5pi/6 l(r1^2 - r2^2r),dtheta

Passo 4

Expandindo e simplificando o integrando, temos
r1^2 = (5+2sintheta)^2 = 25 + 20sintheta + 4sin^2theta,
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r1^2 - r2^2 = 25 - 36 + 20sintheta + 4sin^2theta = -11 + 20sintheta + 4sin^2theta
Usando
sin^2theta = 1 - cos2theta2
segue que
r1^2 - r2^2 = -11 + 20sintheta + 2(1 - cos2theta) = -9 + 20sintheta - 2cos2theta
Portanto o integrando com o fator tfrac12 é
12(r1^2 - r2^2) = -92 + 10sintheta - cos2theta

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral -tfrac92,dtheta = -tfrac92theta, integral 10sintheta,dtheta = -10costheta, integral -cos2theta,dtheta = -tfrac12sin2theta
Então
A = l[-tfrac92theta - 10costheta - tfrac12sin2thetar]theta=pi/6^5pi/6

Passo 6

Finalmente, avaliando nos limites:
-tfrac92l(tfrac5pi6-tfracpi6r) = -3pi,
-10l[cos(5pi/6)-cos(pi/6)r] = 10raiz3,
-tfrac12l[sin(5pi/3)-sin(pi/3)r] = tfracraiz32
Somando tudo obtemos
A = -3pi + 10raiz3 + tfracraiz32 = -3pi + tfrac21raiz32 = 21raiz3 - 6pi2

Resposta

A=21raiz3-6pi2

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