Determine a área interior a
e exterior a
.
e
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica por dentro da curva
e por fora de
. Vamos usar área em coordenadas polares e encontrar primeiro onde elas se cruzam.
Passo 2
Igualamos as duas curvas para achar os ângulos de interseção:
Logo
Isso dá
e
.
Passo 3
Precisamos saber em que intervalos
, pois só aí existe a região entre elas.
Num período
Passo 4
A fórmula da área entre duas curvas em polares é
Aqui teremos a soma de duas integrais, uma em cada intervalo.
Passo 5
Vamos simplificar o integrando:
Escrevendo
, obtemos
Passo 6
Integramos termo a termo:
Logo uma primitiva é
Passo 7
Agora calculamos a área como
Fazendo as contas para cada valor de
, chegamos a
Passo 8
Somando e multiplicando por
dá
Podemos juntar numa só fração.