Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=3+4 sen theta e r2=10 sen theta

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica por dentro da curva r1=3+4sintheta e por fora de r2=10sintheta. Vamos usar área em coordenadas polares e encontrar primeiro onde elas se cruzam.

Passo 2

Igualamos as duas curvas para achar os ângulos de interseção:
3+4sintheta=10sintheta
Logo
3=6sinthetaRightarrowsintheta=tfrac12
Isso dá theta=pi/6 e theta=5pi/6.

Passo 3

Precisamos saber em que intervalos r1>= r2, pois só aí existe a região entre elas.
3+4sintheta>=10sintheta;Leftrightarrow;sintheta<=tfrac12
Num período [0,2pi], isso ocorre em dois pedaços:
[0,pi/6] e [5pi/6,7pi/6] (até 7pi/6 porque depois r1 fica negativa).

Passo 4

A fórmula da área entre duas curvas em polares é
A=12integralthetaa^thetabl(r1^2-r2^2r),dtheta
Aqui teremos a soma de duas integrais, uma em cada intervalo.

Passo 5

Vamos simplificar o integrando:
r1^2-r2^2=(3+4sintheta)^2-(10sintheta)^2=9+24sintheta-84sin^2theta
Escrevendo sin^2theta=(1-cos2theta)/2, obtemos
r1^2-r2^2=9+24sintheta-42+21cos2theta= -33+24sintheta+21cos2theta

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral(-33),dtheta=-33theta, integral24sintheta,dtheta=-24costheta, integral21cos2theta,dtheta=tfrac212sin2theta
Logo uma primitiva é
F(theta)=-33theta-24costheta+tfrac212sin2theta

Passo 7

Agora calculamos a área como
A=tfrac12l[l(F(pi/6)-F(0)r)+l(F(7pi/6)-F(5pi/6)r)r]
Fazendo as contas para cada valor de theta, chegamos a
F(pi/6)-F(0)=-tfrac11pi2-tfrac3raiz32+24, F(7pi/6)-F(5pi/6)=-11pi+21raiz3

Passo 8

Somando e multiplicando por 1/2
A=12+tfrac39raiz34-tfrac33pi4
Podemos juntar numa só fração.

Passo 9

Passo 10

Resposta

A=dfrac48+39raiz3-33pi4

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