Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=4+4 sen theta e r2=4 cos theta

Passo 1

O exercício pede a área da região que é interior à curva polar r1(theta)=4+4sintheta e exterior à curva r2(theta)=4costheta. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares, que usa a fórmula A=12integral r^2,dtheta e precisamos particionar o domínio de theta conforme as interseções e onde r1>= r2.

Passo 2

Encontrar os ângulos de interseção resolvendo r1(theta)=r2(theta), ou seja:
4+4sintheta=4costheta
Dividindo por 4 e reorganizando temos sintheta+1=costheta, cuja solução no intervalo [0,2pi) é theta=0 e theta=3pi/2.

Passo 3

Analisar onde r1(theta)>= r2(theta): o teste mostra que isso ocorre para thetain[0,3pi/2]. Para thetain[0,pi/2] as duas curvas têm valores não negativos e a região vai de r=4costheta até r=4+4sintheta. Para thetain[pi/2,3pi/2], 4costheta<=0 então a região vai de r=0 até r=4+4sintheta.

Passo 4

Escrever a área como soma de integrais:
A=12integral0^pi/2l[(4+4sintheta)^2-(4costheta)^2r]dtheta+12integralpi/2^3pi/2(4+4sintheta)^2dtheta

Passo 5

Calcular a primeira integral:
I1=integral0^pi/2l[(4+4sintheta)^2-(4costheta)^2r]dtheta=8pi+32, logo a contribuição é tfrac12I1=4pi+16.
Calcular a segunda integral:
I2=integralpi/2^3pi/2(4+4sintheta)^2dtheta=24pi, logo tfrac12I2=12pi.

Passo 6

Somar as contribuições:
A=(4pi+16)+(12pi)=16pi+16=16(pi+1)

Resposta

16(pi+1)

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