Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=4+4 sen theta e r2=2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos achar a área dos pontos que estão dentro da curva polar r1=4+4sintheta e fora do círculo r2=2. O conteúdo usado é área em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, a área entre duas curvas r=router(theta) e r=rinner(theta) num intervalo de ângulos thetain[a,b] é dada por
A=12integrala^bl(router^2-rinner^2r),dtheta

Passo 3

Precisamos identificar para quais theta vale r1>= r2. Resolvendo
4+4sintheta>=2Longrightarrowsintheta>=-tfrac12
Isso acontece para thetain[-tfracpi6,,7pi6]. Como o período é [0,2pi], podemos usar esse mesmo intervalo (ou equivalentemente [0,7pi/6]cup[11pi/6,2pi]).

Passo 4

Montamos a integral de área usando router=r1 e rinner=r2=2 no intervalo [-tfracpi6,7pi6]:
A=12integral-pi/6^7pi/6l((4+4sintheta)^2-2^2r)dtheta

Passo 5

Expandindo o integrando:
(4+4sintheta)^2-4=16+32sintheta+16sin^2theta-4=12+32sintheta+16sin^2theta
Usamos integralsin^2theta,dtheta=tfrac12theta-tfrac14sin2theta. Depois de integrar, obtemos
12l(20theta-4sin2theta-32costhetar) =10theta-2sin2theta-16costheta

Passo 6

Avaliando entre theta=-tfracpi6 e theta=7pi6 e fazendo a diferença, chega-se a
A=40pi3+14raiz3

Resposta

40pi3+14raiz3

Exercícios relacionados