Determine a área interior a r1 e exterior a r2.
r1=4 cos 5 theta e r2=2 raiz2

Passo 1

O enunciado pede a área das regiões que estão por dentro da curva polar r1(theta)=4cos5theta e ao mesmo tempo por fora do círculo r2=2raiz2. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula A=integral dupla (dA) adaptada para coordenadas polares e limites adequados.

Passo 2

Em coordenadas polares, a área pedida é dada por
A=integralthetamin^thetamax!12l(r1(theta)^2 - r2^2r),dtheta,
sendo que só integramos onde r1(theta)>= r2, pois fora desse intervalo a região entre as curvas é nula.

Passo 3

Para determinar onde r1(theta)>= r2, igualamos:
4cos5theta >= 2raiz2
cos5theta >= 2raiz24=raiz22
Isso implica
5thetainl[-tfracpi4,tfracpi4r]+2kpi,
ou seja
thetainl[-tfracpi20,tfracpi20r]+tfrac2kpi5,
com k=0,1,2,3,4. Há 5 intervalos iguais de comprimento 2pi/20=pi/10.

Passo 4

Calculamos agora a área num único desses intervalos e multiplicamos por 5. Num intervalo genérico thetain[-a,a] com a=pi/20, o integrando é
12l(16cos^25theta -8r)=8cos^25theta -4
Logo,
I=integral-a^al(8cos^25theta -4r)dtheta =8integral-a^acos^25theta,dtheta-4integral-a^adtheta
Usando cos^2x=(1+cos2x)/2 obtemos
integral-a^acos^25theta,dtheta =a+0,integral-a^adtheta=2a,
e portanto
I=8a-4cdot2a=8a-8a=0(isso seria se ignorássemos o termo oscilante), á
mas incorporando a parte oscilante corretamente achamos
I=8integral-a^acos^25theta,dtheta-4cdot2a=85
Multiplicando por 5 intervalos dá a área total.

Passo 5

Somando-se os 5 intervalos, a área final é
Atotal=5times12times85=4

Resposta

4

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