Determine a área interior a
e exterior a
.
e
Passo 1
O enunciado pede a área das regiões que estão por dentro da curva polar
e ao mesmo tempo por fora do círculo
. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula
adaptada para coordenadas polares e limites adequados.
Passo 2
Em coordenadas polares, a área pedida é dada por
sendo que só integramos onde
, pois fora desse intervalo a região entre as curvas é nula.
Passo 3
Para determinar onde
, igualamos:
Isso implica
ou seja
com
. Há 5 intervalos iguais de comprimento
.
Passo 4
Calculamos agora a área num único desses intervalos e multiplicamos por 5. Num intervalo genérico
com
, o integrando é
Logo,
Usando
obtemos
e portanto
mas incorporando a parte oscilante corretamente achamos
Multiplicando por 5 intervalos dá a área total.
Passo 5
Somando-se os 5 intervalos, a área final é
Resposta
4